该函数由欧拉(22岁)在1729年得出。
实数域上的伽马函数:
由上式我们可以看出为什么会有伽马函数:为了把阶乘数列推广到实数上。
复数域上的伽马函数:
常用性质:
Γ(x+1)=xΓ(x)
,
,B(a,b)称为第一型欧拉积分,伽马函数是第二型欧拉积分。
伽马分布:
余元公式:
对于想x>0 ,伽马函数是严格凸函数
伽马函数是亚纯函数,在复平面上,除了零和负整数点以外,它全部解析,而伽马函数在-k处的留数为:
当x取的数越大,Gamma 函数就越趋向于 Stirling 公式,所以当x足够大时,可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。
Digamma函数:
,
是欧拉常数