20200913 第 10 章 树结构的基础部分

第 10 章 树结构的基础部分

10.1 二叉树

10.1.1 为什么需要树这种数据结构

1. 数组存储方式的分析

   • 优点： 通过下标方式访问元素， 速度快。 对于有序数组， 还可使用二分查找提高检索速度。
   • 缺点： 如果要检索具体某个值， 或者插入值(按一定顺序)会整体移动， 效率较低

2. 链式存储方式的分析

   • 优点： 在一定程度上对数组存储方式有优化(比如： 插入一个数值节点， 只需要将插入节点， 链接到链表中即可，删除效率也很好)。

   • 缺点： 在进行检索时， 效率仍然较低， 比如(检索某个值， 需要从头节点开始遍历)

3. 树存储方式的分析

   能提高数据存储、读取的效率，比如利用二叉排序树(Binary Sort Tree)， 既可以保证数据的检索速度， 同时也可以保证数据的插入、删除、修改的速度。

10.1.2 树示意图

树的常用术语：

• 节点
• 根节点
• 父节点
• 子节点
• 叶子节点 (没有子节点的节点)
• 节点的权(节点值)
• 路径(从 root 节点找到该节点的路线)
• 层
• 子树
• 树的高度(最大层数)
• 森林（多颗子树构成森林）

10.1.3 二叉树的概念

1. 树有很多种， 每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。

2. 二叉树的子节点分为左节点和右节点

3. 示意图

   

4. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层， 并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数， 则我们称为 满二叉树。

5. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层， 而且最后一层的叶子节点在左边连续， 倒数第二层的叶子节点在右边连续， 我们称为完全二叉树

10.1.4 二叉树遍历的说明

使用前序， 中序和后序对下面的二叉树进行遍历

1. 前序遍历: 先输出父节点， 再遍历左子树和右子树
2. 中序遍历: 先遍历左子树， 再输出父节点， 再遍历右子树
3. 后序遍历: 先遍历左子树， 再遍历右子树， 最后输出父节点
4. 小结: 看输出父节点的顺序， 就确定是前序， 中序还是后序

10.1.5 二叉树遍历代码实现(前序,中序,后序)

public class MyBinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        //先需要创建一颗二叉树
        MyBinaryTree binaryTree = new MyBinaryTree();
        //创建需要的结点
        MyHeroNode root = new MyHeroNode(1, "宋江");
        MyHeroNode node2 = new MyHeroNode(2, "吴用");
        MyHeroNode node3 = new MyHeroNode(3, "卢俊义");
        MyHeroNode node4 = new MyHeroNode(4, "林冲");
        MyHeroNode node5 = new MyHeroNode(5, "关胜");

        //说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        node3.setLeft(node5);
        binaryTree.setRoot(root);

        System.out.println("前序遍历");
        binaryTree.preOrder();

        System.out.println("中序遍历");
        binaryTree.infixOrder();

        System.out.println("后序遍历");
        binaryTree.postOrder();
    }
}

@Data
class MyBinaryTree {
    MyHeroNode root; // 树的根节点
    
    /**
     * 前序遍历
     */
    public void preOrder() {
        if (root == null) {
            System.out.println("树为空，无法遍历");
        } else {
            root.preOrder();
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void infixOrder() {
        if (root == null) {
            System.out.println("树为空，无法遍历");
        } else {
            root.infixOrder();
        }
    }

    /**
     * 后序遍历
     */
    public void postOrder() {
        if (root == null) {
            System.out.println("树为空，无法遍历");
        } else {
            root.postOrder();
        }
    }
}

@Data
class MyHeroNode {
    Integer no;
    String name;

    MyHeroNode left; // 左节点
    MyHeroNode right; // 右节点

    public MyHeroNode(Integer no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "MyHeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
    }

    /**
     * 前序遍历
     */
    public void preOrder() {
        System.out.println(this);

        if (this != null && this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }

        if (this != null && this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void infixOrder() {

        if (this != null && this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }

        System.out.println(this);

        if (this != null && this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    /**
     * 后序遍历
     */
    public void postOrder() {

        if (this != null && this.left != null) {
            this.left.postOrder();
        }

        if (this != null && this.right != null) {
            this.right.postOrder();
        }

        System.out.println(this);
    }
}

10.1.6 二叉树-查找指定节点（前中后序）

/**
 * 前序查找
 */
public MyHeroNode preOrderSearch(Integer no) {
    if (this != null) {
        System.out.println(this.no);
    }
    // 当前节点
    if (this != null && this.no == no) {
        return this;
    }

    // 向左递归查找
    MyHeroNode resNode = null;
    if (this.left != null) {
        resNode = this.left.preOrderSearch(no);
    }
    if (resNode != null) {
        return resNode;
    }

    // 向右递归查找
    if (this.right != null) {
        resNode = this.right.preOrderSearch(no);
    }
    if (resNode != null) {
        return resNode;
    }

    return null;
}

/**
 * 中序查找
 */
public MyHeroNode infixOrderSearch(Integer no) {

    // 向左递归查找
    MyHeroNode resNode = null;
    if (this.left != null) {
        resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
    }
    if (resNode != null) {
        return resNode;
    }

    if (this != null) {
        System.out.println(this.no);
    }
    // 当前节点
    if (this != null && this.no == no) {
        return this;
    }

    // 向右递归查找
    if (this.right != null) {
        resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
    }
    if (resNode != null) {
        return resNode;
    }

    return null;
}

/**
 * 中序查找
 */
public MyHeroNode postOrderSearch(Integer no) {

    // 向左递归查找
    MyHeroNode resNode = null;
    if (this.left != null) {
        resNode = this.left.postOrderSearch(no);
    }
    if (resNode != null) {
        return resNode;
    }

    // 向右递归查找
    if (this.right != null) {
        resNode = this.right.postOrderSearch(no);
    }
    if (resNode != null) {
        return resNode;
    }

    if (this != null) {
        System.out.println(this.no);
    }
    // 当前节点
    if (this != null && this.no == no) {
        return this;
    }

    return null;
}

10.1.7 二叉树-删除节点

要求：

1. 如果删除的节点是叶子节点， 则删除该节点
2. 如果删除的节点是非叶子节点， 则删除该子树
3. 测试， 删除掉 5 号叶子节点 和 3 号子树

//递归删除结点
//1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
//2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
public void delNode(int no) {

    //思路
    /*
     * 	1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
        2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
        3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
        4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
        5.  如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.

     */
    //2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
    if (this.left != null && this.left.no == no) {
        this.left = null;
        return;
    }
    //3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
    if (this.right != null && this.right.no == no) {
        this.right = null;
        return;
    }
    //4.我们就需要向左子树进行递归删除
    if (this.left != null) {
        this.left.delNode(no);
    }
    //5.则应当向右子树进行递归删除
    if (this.right != null) {
        this.right.delNode(no);
    }
}

10.2 顺序存储二叉树

10.2.1 顺序存储二叉树的概念

基本说明

从数据存储来看， 数组存储方式和树的存储方式可以相互转换， 即数组可以转换成树， 树也可以转换成数组，看右面的示意图。

要求:

1. 右图的二叉树的结点， 要求以数组的方式来存放 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
2. 要求在遍历数组 arr 时， 仍然可以以前序遍历， 中序遍历和后序遍历的方式完成结点的遍历

顺序存储二叉树的特点：

1. 顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
2. 第 n 个元素的左子节点为 2 * n + 1
3. 第 n 个元素的右子节点为 2 * n + 2
4. 第 n 个元素的父节点为 (n-1) / 2
5. n：表示二叉树中的第几个元素(按 0 开始编号)

10.2.2 顺序存储二叉树遍历

需求：给你一个数组 {1,2,3,4,5,6,7}，要求以二叉树前序遍历的方式进行遍历。 前序遍历的结果应当为 1,2,4,5,3,6,7

public class ArrBinaryTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
        //创建一个 ArrBinaryTree
        ArrBinaryTree arrBinaryTree = new ArrBinaryTree(arr);
        arrBinaryTree.preOrder(); // 1,2,4,5,3,6,7
    }

}

//编写一个ArrayBinaryTree, 实现顺序存储二叉树遍历

class ArrBinaryTree {
    private int[] arr;//存储数据结点的数组

    public ArrBinaryTree(int[] arr) {
        this.arr = arr;
    }

    //重载preOrder
    public void preOrder() {
        this.preOrder(0);
    }

    //编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历

    /**
     * @param index 数组的下标
     */
    public void preOrder(int index) {
        //如果数组为空，或者 arr.length = 0
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
        }
        
        //输出当前这个元素
        System.out.println(arr[index]);
        
        //向左递归遍历
        if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 1);
        }
        //向右递归遍历
        if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
            preOrder(2 * index + 2);
        }
    }

}

10.3 线索化二叉树

将数列 {1, 3, 6, 8, 10, 14 } 构建成一颗二叉树

问题分析:

1. 当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}
2. 但是 6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上
3. 如果我们希望充分的利用 各个节点的左右指针， 让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?
4. 解决方案 - 线索二叉树

10.3.2 线索二叉树基本介绍

1. n 个结点的二叉链表中含有 n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。 利用二叉链表中的空指针域， 存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为 线索 ）
2. 这种加上了线索的二叉链表称为 线索链表， 相应的二叉树称为 线索二叉树 (Threaded BinaryTree)。 根据线索性质的不同， 线索二叉树可分为前序线索二叉树、 中序线索二叉树和后序线索二叉树三种
3. 一个结点的前一个结点， 称为前驱结点
4. 一个结点的后一个结点， 称为后继结点

10.3.3 线索二叉树应用案例

应用案例说明： 将下面的二叉树， 进行中序线索二叉树。 中序遍历的数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}

说明: 当线索化二叉树后， Node 节点的 属性 left 和 right ， 有如下情况:

1. left 指向的是左子树， 也可能是指向的前驱节点. 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是前驱节点.
2. right 指向的是右子树， 也可能是指向后继节点， 比如 ① 节点 right 指向的是右子树， 而⑩ 节点的 right 指向的是后继节点.

10.3.4 遍历线索化二叉树

1. 说明： 对前面的中序线索化的二叉树， 进行遍历
2. 分析： 因为线索化后， 各个结点指向有变化， 因此原来的遍历方式不能使用， 这时需要使用新的方式遍历线索化二叉树， 各个节点可以通过线型方式遍历， 因此无需使用递归方式， 这样也提高了遍历的效率。 遍历的次序应当和中序遍历保持一致。

10.3.5 代码实现

public class ThreadedBinaryTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {
        //测试一把中序线索二叉树的功能
        HeroNode root = new HeroNode(1, "tom");
        HeroNode node2 = new HeroNode(3, "jack");
        HeroNode node3 = new HeroNode(6, "smith");
        HeroNode node4 = new HeroNode(8, "mary");
        HeroNode node5 = new HeroNode(10, "king");
        HeroNode node6 = new HeroNode(14, "dim");

        //二叉树，后面我们要递归创建, 现在简单处理使用手动创建
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node2.setLeft(node4);
        node2.setRight(node5);
        node3.setLeft(node6);

        //测试中序线索化
        ThreadedBinaryTree threadedBinaryTree = new ThreadedBinaryTree();
        threadedBinaryTree.setRoot(root);
        threadedBinaryTree.threadedNodes();

        //测试: 以10号节点测试
        HeroNode leftNode = node5.getLeft();
        HeroNode rightNode = node5.getRight();
        System.out.println("10号结点的前驱结点是 =" + leftNode); //3
        System.out.println("10号结点的后继结点是=" + rightNode); //1

        //当线索化二叉树后，能在使用原来的遍历方法
        //threadedBinaryTree.infixOrder();
        System.out.println("使用线索化的方式遍历 线索化二叉树");
        threadedBinaryTree.threadedList(); // 8, 3, 10, 1, 14, 6

    }

}


//定义ThreadedBinaryTree 实现了线索化功能的二叉树
class ThreadedBinaryTree {
    private HeroNode root;

    //为了实现线索化，需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
    //在递归进行线索化时，pre 总是保留前一个结点
    private HeroNode pre = null;

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    //重载一把threadedNodes方法
    public void threadedNodes() {
        this.threadedNodes(root);
    }

    //遍历线索化二叉树的方法
    public void threadedList() {
        //定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始
        HeroNode node = root;
        while (node != null) {
            //循环的找到leftType == 1的结点，第一个找到就是8结点
            //后面随着遍历而变化,因为当leftType==1时，说明该结点是按照线索化
            //处理后的有效结点
            while (node.getLeftType() == 0) {
                node = node.getLeft();
            }

            //打印当前这个结点
            System.out.println(node);
            //如果当前结点的右指针指向的是后继结点,就一直输出
            while (node.getRightType() == 1) {
                //获取到当前结点的后继结点
                node = node.getRight();
                System.out.println(node);
            }
            //替换这个遍历的结点
            node = node.getRight();

        }
    }

    //编写对二叉树进行中序线索化的方法

    /**
     * @param node 就是当前需要线索化的结点
     */
    public void threadedNodes(HeroNode node) {

        //如果node==null, 不能线索化
        if (node == null) {
            return;
        }

        //(一)先线索化左子树
        threadedNodes(node.getLeft());
        //(二)线索化当前结点[有难度]

        //处理当前结点的前驱结点
        //以8结点来理解
        //8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1
        if (node.getLeft() == null) {
            //让当前结点的左指针指向前驱结点
            node.setLeft(pre);
            //修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点
            node.setLeftType(1);
        }

        //处理后继结点
        if (pre != null && pre.getRight() == null) {
            //让前驱结点的右指针指向当前结点
            pre.setRight(node);
            //修改前驱结点的右指针类型
            pre.setRightType(1);
        }
        //!!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点
        pre = node;

        //(三)在线索化右子树
        threadedNodes(node.getRight());


    }

    //删除结点
    public void delNode(int no) {
        if (root != null) {
            //如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
            if (root.getNo() == no) {
                root = null;
            } else {
                //递归删除
                root.delNode(no);
            }
        } else {
            System.out.println("空树，不能删除~");
        }
    }

    //前序遍历
    public void preOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.preOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }

    //中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.infixOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }

    //后序遍历
    public void postOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.postOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }

    //前序遍历
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.preOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }

    //中序遍历
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.infixOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }

    //后序遍历
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return this.root.postOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }
}

//先创建HeroNode 结点
@Data
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left; //默认null
    private HeroNode right; //默认null
    //说明
    //1. 如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
    //2. 如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
    private int leftType;
    private int rightType;

	public HeroNode(int no, String name) {
		this.no = no;
		this.name = name;
	}

	@Override
    public String toString() {
        return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
    }

    //递归删除结点
    //1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
    //2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
    public void delNode(int no) {

        //思路
		/*
		 * 	1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
			2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
			3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
			4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
			5.  如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.

		 */
        //2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
        if (this.left != null && this.left.no == no) {
            this.left = null;
            return;
        }
        //3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
        if (this.right != null && this.right.no == no) {
            this.right = null;
            return;
        }
        //4.我们就需要向左子树进行递归删除
        if (this.left != null) {
            this.left.delNode(no);
        }
        //5.则应当向右子树进行递归删除
        if (this.right != null) {
            this.right.delNode(no);
        }
    }

    //编写前序遍历的方法
    public void preOrder() {
        System.out.println(this); //先输出父结点
        //递归向左子树前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }
        //递归向右子树前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }

    //中序遍历
    public void infixOrder() {

        //递归向左子树中序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        //输出父结点
        System.out.println(this);
        //递归向右子树中序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    //后序遍历
    public void postOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.postOrder();
        }
        if (this.right != null) {
            this.right.postOrder();
        }
        System.out.println(this);
    }

    //前序遍历查找

    /**
     * @param no 查找no
     * @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
     */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        System.out.println("进入前序遍历");
        //比较当前结点是不是
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        //1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
        //2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.preOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {//说明我们左子树找到
            return resNode;
        }
        //1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
        //2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.preOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    //中序遍历查找
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
        //判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        System.out.println("进入中序查找");
        //如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        //否则继续进行右递归的中序查找
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
        }
        return resNode;

    }

    //后序遍历查找
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {

        //判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
            resNode = this.left.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {//说明在左子树找到
            return resNode;
        }

        //如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
        if (this.right != null) {
            resNode = this.right.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
            return resNode;
        }
        System.out.println("进入后序查找");
        //如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        return resNode;
    }

}