6天通吃树结构—— 第二天 平衡二叉树

       

      上一篇我们聊过，二叉查找树不是严格的O(logN)，导致了在真实场景中没有用武之地，谁也不愿意有O(N)的情况发生，

作为一名码农，肯定会希望能把“范围查找”做到地球人都不能优化的地步。

     当有很多数据灌到我的树中时，我肯定会希望最好是以“完全二叉树”的形式展现，这样我才能做到“查找”是严格的O(logN)，

比如把这种”树“调正到如下结构。

     

这里就涉及到了“树节点”的旋转，也是我们今天要聊到的内容。

一：平衡二叉树（AVL）

1：定义

       父节点的左子树和右子树的高度之差不能大于1，也就是说不能高过1层，否则该树就失衡了，此时就要旋转节点，在

编码时，我们可以记录当前节点的高度，比如空节点是-1，叶子节点是0，非叶子节点的height往根节点递增，比如在下图

中我们认为树的高度为h=2。

#region 平衡二叉树节点
    /// <summary>
    /// 平衡二叉树节点
    /// </summary>
    /// <typeparam name="K"></typeparam>
    /// <typeparam name="V"></typeparam>
    public class AVLNode<K, V>
    {
        /// <summary>
        /// 节点元素
        /// </summary>
        public K key;

        /// <summary>
        /// 增加一个高度信息
        /// </summary>
        public int height;

        /// <summary>
        /// 节点中的附加值
        /// </summary>
        public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();

        /// <summary>
        /// 左节点
        /// </summary>
        public AVLNode<K, V> left;

        /// <summary>
        /// 右节点
        /// </summary>
        public AVLNode<K, V> right;

        public AVLNode() { }

        public AVLNode(K key, V value, AVLNode<K, V> left, AVLNode<K, V> right)
        {
            //KV键值对
            this.key = key;
            this.attach.Add(value);

            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }
    #endregion

2：旋转

    节点再怎么失衡都逃不过4种情况，下面我们一一来看一下。

① 左左情况（左子树的左边节点）

我们看到，在向树中追加“节点1”的时候，根据定义我们知道这样会导致了“节点3"失衡，满足“左左情况“，可以这样想，把这

棵树比作齿轮，我们在“节点5”处把齿轮往下拉一个位置，也就变成了后面这样“平衡”的形式，如果用动画解释就最好理解了。

        #region 第一种：左左旋转（单旋转）
        /// <summary>
        /// 第一种：左左旋转（单旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateLL(AVLNode<K, V> node)
        {
            //top：需要作为顶级节点的元素
            var top = node.left;

            //先截断当前节点的左孩子
            node.left = top.right;

            //将当前节点作为temp的右孩子
            top.right = node;

            //计算当前两个节点的高度
            node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;
            top.height = Math.Max(Height(top.left), Height(top.right)) + 1;

            return top;
        }
        #endregion

② 右右情况（右子树的右边节点）

同样，”节点5“满足”右右情况“，其实我们也看到，这两种情况是一种镜像，当然操作方式也大同小异，我们在”节点1“的地方

将树往下拉一位，最后也就形成了我们希望的平衡效果。

        #region 第二种：右右旋转（单旋转）
        /// <summary>
        /// 第二种：右右旋转（单旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateRR(AVLNode<K, V> node)
        {
            //top：需要作为顶级节点的元素
            var top = node.right;

            //先截断当前节点的右孩子
            node.right = top.left;

            //将当前节点作为temp的右孩子
            top.left = node;

            //计算当前两个节点的高度
            node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;
            top.height = Math.Max(Height(top.left), Height(top.right)) + 1;

            return top;
        }
        #endregion

③左右情况（左子树的右边节点）

从图中我们可以看到，当我们插入”节点3“时，“节点5”处失衡，注意，找到”失衡点“是非常重要的，当面对”左右情况“时，我们将

失衡点的左子树进行"右右情况旋转"，然后进行”左左情况旋转“，经过这样两次的旋转就OK了，很有意思，对吧。

        #region 第三种：左右旋转（双旋转）
        /// <summary>
        /// 第三种：左右旋转（双旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateLR(AVLNode<K, V> node)
        {
            //先进行RR旋转
            node.left = RotateRR(node.left);

            //再进行LL旋转
            return RotateLL(node);
        }
        #endregion

④右左情况(右子树的左边节点）

这种情况和“情景3”也是一种镜像关系，很简单，我们找到了”节点15“是失衡点，然后我们将”节点15“的右子树进行”左左情况旋转“，

然后进行”右右情况旋转“，最终得到了我们满意的平衡。

        #region 第四种：右左旋转（双旋转）
        /// <summary>
        /// 第四种：右左旋转（双旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateRL(AVLNode<K, V> node)
        {
            //执行左左旋转
            node.right = RotateLL(node.right);

            //再执行右右旋转
            return RotateRR(node);

        }
        #endregion

3：添加

    如果我们理解了上面的这几种旋转，那么添加方法简直是轻而易举，出现了哪一种情况调用哪一种方法而已。

 #region 添加操作
        /// <summary>
        /// 添加操作
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="value"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> Add(K key, V value, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                tree = new AVLNode<K, V>(key, value, null, null);

            //左子树
            if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
            {
                tree.left = Add(key, value, tree.left);

                //如果说相差等于2就说明这棵树需要旋转了
                if (Height(tree.left) - Height(tree.right) == 2)
                {
                    //说明此时是左左旋转
                    if (key.CompareTo(tree.left.key) < 0)
                    {
                        tree = RotateLL(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于左右旋转
                        tree = RotateLR(tree);
                    }
                }
            }

            //右子树
            if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
            {
                tree.right = Add(key, value, tree.right);

                if ((Height(tree.right) - Height(tree.left) == 2))
                {
                    //此时是右右旋转
                    if (key.CompareTo(tree.right.key) > 0)
                    {
                        tree = RotateRR(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于右左旋转
                        tree = RotateRL(tree);
                    }
                }
            }

            //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）
            if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
                tree.attach.Add(value);

            //计算高度
            tree.height = Math.Max(Height(tree.left), Height(tree.right)) + 1;

            return tree;
        }
        #endregion

4：删除

删除方法跟添加方法也类似，当删除一个结点的时候，可能会引起祖先结点的失衡，所以在每次”结点“回退的时候计算结点高度。

#region 删除当前树中的节点
        /// <summary>
        /// 删除当前树中的节点
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> Remove(K key, V value, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            //左子树
            if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
            {
                tree.left = Remove(key, value, tree.left);

                //如果说相差等于2就说明这棵树需要旋转了
                if (Height(tree.left) - Height(tree.right) == 2)
                {
                    //说明此时是左左旋转
                    if (key.CompareTo(tree.left.key) < 0)
                    {
                        tree = RotateLL(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于左右旋转
                        tree = RotateLR(tree);
                    }
                }
            }
            //右子树
            if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
            {
                tree.right = Remove(key, value, tree.right);

                if ((Height(tree.right) - Height(tree.left) == 2))
                {
                    //此时是右右旋转
                    if (key.CompareTo(tree.right.key) > 0)
                    {
                        tree = RotateRR(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于右左旋转
                        tree = RotateRL(tree);
                    }
                }
            }
            /*相等的情况*/
            if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
            {
                //判断里面的HashSet是否有多值
                if (tree.attach.Count > 1)
                {
                    //实现惰性删除
                    tree.attach.Remove(value);
                }
                else
                {
                    //有两个孩子的情况
                    if (tree.left != null && tree.right != null)
                    {
                        //根据平衡二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点
                        tree.key = FindMin(tree.right).key;

                        //删除右子树的指定元素
                        tree.right = Remove(tree.key, value, tree.right);
                    }
                    else
                    {
                        //自减高度
                        tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;

                        //如果删除的是叶子节点直接返回
                        if (tree == null)
                            return null;
                    }
                }
            }

            //统计高度
            tree.height = Math.Max(Height(tree.left), Height(tree.right)) + 1;

            return tree;
        }
        #endregion

5: 测试

不像上一篇不能在二叉树中灌有序数据，平衡二叉树就没关系了，我们的需求是检索2012-7-30 4:00:00 到 2012-7-30 5:00:00

的登陆用户的ID，数据量在500w，看看平衡二叉树是如何秒杀对手。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading;
using System.IO;
using System.Diagnostics;

namespace DataStruct
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            AVLTree<int, int> avl = new AVLTree<int, int>();

            Dictionary<DateTime, int> dic = new Dictionary<DateTime, int>();

            AVLTree<DateTime, int> tree = new AVLTree<DateTime, int>();

            //500w
            for (int i = 1; i < 5000000; i++)
            {
                dic.Add(DateTime.Now.AddMinutes(i), i);

                tree.Add(DateTime.Now.AddMinutes(i), i);
            }

            //检索2012-7-30 4:00:00 到 2012-7-30 5:00:00的登陆人数
            var min = Convert.ToDateTime("2012/7/30 4:00:00");

            var max = Convert.ToDateTime("2012/7/30 5:00:00");

            var watch = Stopwatch.StartNew();

            var result1 = dic.Keys.Where(i => i >= min && i <= max).Select(i => dic[i]).ToList();

            watch.Stop();

            Console.WriteLine("字典查找耗费时间:{0}ms", watch.ElapsedMilliseconds);

            watch = Stopwatch.StartNew();

            var result2 = tree.SearchRange(min, max);

            watch.Stop();

            Console.WriteLine("平衡二叉树查找耗费时间:{0}ms", watch.ElapsedMilliseconds);
        }
    }

    #region 平衡二叉树节点
    /// <summary>
    /// 平衡二叉树节点
    /// </summary>
    /// <typeparam name="K"></typeparam>
    /// <typeparam name="V"></typeparam>
    public class AVLNode<K, V>
    {
        /// <summary>
        /// 节点元素
        /// </summary>
        public K key;

        /// <summary>
        /// 增加一个高度信息
        /// </summary>
        public int height;

        /// <summary>
        /// 节点中的附加值
        /// </summary>
        public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();

        /// <summary>
        /// 左节点
        /// </summary>
        public AVLNode<K, V> left;

        /// <summary>
        /// 右节点
        /// </summary>
        public AVLNode<K, V> right;

        public AVLNode() { }

        public AVLNode(K key, V value, AVLNode<K, V> left, AVLNode<K, V> right)
        {
            //KV键值对
            this.key = key;
            this.attach.Add(value);

            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }
    #endregion

    public class AVLTree<K, V> where K : IComparable
    {
        public AVLNode<K, V> node = null;

        #region 添加操作
        /// <summary>
        /// 添加操作
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="value"></param>
        public void Add(K key, V value)
        {
            node = Add(key, value, node);
        }
        #endregion

        #region 添加操作
        /// <summary>
        /// 添加操作
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="value"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> Add(K key, V value, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                tree = new AVLNode<K, V>(key, value, null, null);

            //左子树
            if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
            {
                tree.left = Add(key, value, tree.left);

                //如果说相差等于2就说明这棵树需要旋转了
                if (Height(tree.left) - Height(tree.right) == 2)
                {
                    //说明此时是左左旋转
                    if (key.CompareTo(tree.left.key) < 0)
                    {
                        tree = RotateLL(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于左右旋转
                        tree = RotateLR(tree);
                    }
                }
            }

            //右子树
            if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
            {
                tree.right = Add(key, value, tree.right);

                if ((Height(tree.right) - Height(tree.left) == 2))
                {
                    //此时是右右旋转
                    if (key.CompareTo(tree.right.key) > 0)
                    {
                        tree = RotateRR(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于右左旋转
                        tree = RotateRL(tree);
                    }
                }
            }

            //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）
            if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
                tree.attach.Add(value);

            //计算高度
            tree.height = Math.Max(Height(tree.left), Height(tree.right)) + 1;

            return tree;
        }
        #endregion

        #region 计算当前节点的高度
        /// <summary>
        /// 计算当前节点的高度
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public int Height(AVLNode<K, V> node)
        {
            return node == null ? -1 : node.height;
        }
        #endregion

        #region 第一种：左左旋转（单旋转）
        /// <summary>
        /// 第一种：左左旋转（单旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateLL(AVLNode<K, V> node)
        {
            //top：需要作为顶级节点的元素
            var top = node.left;

            //先截断当前节点的左孩子
            node.left = top.right;

            //将当前节点作为temp的右孩子
            top.right = node;

            //计算当前两个节点的高度
            node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;
            top.height = Math.Max(Height(top.left), Height(top.right)) + 1;

            return top;
        }
        #endregion

        #region 第二种：右右旋转（单旋转）
        /// <summary>
        /// 第二种：右右旋转（单旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateRR(AVLNode<K, V> node)
        {
            //top：需要作为顶级节点的元素
            var top = node.right;

            //先截断当前节点的右孩子
            node.right = top.left;

            //将当前节点作为temp的右孩子
            top.left = node;

            //计算当前两个节点的高度
            node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;
            top.height = Math.Max(Height(top.left), Height(top.right)) + 1;

            return top;
        }
        #endregion

        #region 第三种：左右旋转（双旋转）
        /// <summary>
        /// 第三种：左右旋转（双旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateLR(AVLNode<K, V> node)
        {
            //先进行RR旋转
            node.left = RotateRR(node.left);

            //再进行LL旋转
            return RotateLL(node);
        }
        #endregion

        #region 第四种：右左旋转（双旋转）
        /// <summary>
        /// 第四种：右左旋转（双旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateRL(AVLNode<K, V> node)
        {
            //执行左左旋转
            node.right = RotateLL(node.right);

            //再执行右右旋转
            return RotateRR(node);

        }
        #endregion

        #region 是否包含指定元素
        /// <summary>
        /// 是否包含指定元素
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <returns></returns>
        public bool Contain(K key)
        {
            return Contain(key, node);
        }
        #endregion

        #region 是否包含指定元素
        /// <summary>
        /// 是否包含指定元素
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public bool Contain(K key, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return false;
            //左子树
            if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
                return Contain(key, tree.left);

            //右子树
            if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
                return Contain(key, tree.right);

            return true;
        }
        #endregion

        #region 树的指定范围查找
        /// <summary>
        /// 树的指定范围查找
        /// </summary>
        /// <param name="min"></param>
        /// <param name="max"></param>
        /// <returns></returns>
        public HashSet<V> SearchRange(K min, K max)
        {
            HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();

            hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);

            return hashSet;
        }
        #endregion

        #region 树的指定范围查找
        /// <summary>
        /// 树的指定范围查找
        /// </summary>
        /// <param name="range1"></param>
        /// <param name="range2"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return hashSet;

            //遍历左子树（寻找下界）
            if (min.CompareTo(tree.key) < 0)
                SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);

            //当前节点是否在选定范围内
            if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)
            {
                //等于这种情况
                foreach (var item in tree.attach)
                    hashSet.Add(item);
            }

            //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）
            if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)
                SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);

            return hashSet;
        }
        #endregion

        #region 找到当前树的最小节点
        /// <summary>
        /// 找到当前树的最小节点
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> FindMin()
        {
            return FindMin(node);
        }
        #endregion

        #region 找到当前树的最小节点
        /// <summary>
        /// 找到当前树的最小节点
        /// </summary>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> FindMin(AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            if (tree.left == null)
                return tree;

            return FindMin(tree.left);
        }
        #endregion

        #region 找到当前树的最大节点
        /// <summary>
        /// 找到当前树的最大节点
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> FindMax()
        {
            return FindMin(node);
        }
        #endregion

        #region 找到当前树的最大节点
        /// <summary>
        /// 找到当前树的最大节点
        /// </summary>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> FindMax(AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            if (tree.right == null)
                return tree;

            return FindMax(tree.right);
        }
        #endregion

        #region 删除当前树中的节点
        /// <summary>
        /// 删除当前树中的节点
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <returns></returns>
        public void Remove(K key, V value)
        {
            node = Remove(key, value, node);
        }
        #endregion

        #region 删除当前树中的节点
        /// <summary>
        /// 删除当前树中的节点
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> Remove(K key, V value, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            //左子树
            if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
            {
                tree.left = Remove(key, value, tree.left);

                //如果说相差等于2就说明这棵树需要旋转了
                if (Height(tree.left) - Height(tree.right) == 2)
                {
                    //说明此时是左左旋转
                    if (key.CompareTo(tree.left.key) < 0)
                    {
                        tree = RotateLL(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于左右旋转
                        tree = RotateLR(tree);
                    }
                }
            }
            //右子树
            if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
            {
                tree.right = Remove(key, value, tree.right);

                if ((Height(tree.right) - Height(tree.left) == 2))
                {
                    //此时是右右旋转
                    if (key.CompareTo(tree.right.key) > 0)
                    {
                        tree = RotateRR(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于右左旋转
                        tree = RotateRL(tree);
                    }
                }
            }
            /*相等的情况*/
            if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
            {
                //判断里面的HashSet是否有多值
                if (tree.attach.Count > 1)
                {
                    //实现惰性删除
                    tree.attach.Remove(value);
                }
                else
                {
                    //有两个孩子的情况
                    if (tree.left != null && tree.right != null)
                    {
                        //根据平衡二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点
                        tree.key = FindMin(tree.right).key;

                        //删除右子树的指定元素
                        tree.right = Remove(tree.key, value, tree.right);
                    }
                    else
                    {
                        //自减高度
                        tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;

                        //如果删除的是叶子节点直接返回
                        if (tree == null)
                            return null;
                    }
                }
            }

            //统计高度
            tree.height = Math.Max(Height(tree.left), Height(tree.right)) + 1;

            return tree;
        }
        #endregion
    }
}

wow,相差98倍，这个可不是一个级别啊...AVL神器。