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  • 上台阶问题的递推分析

    问题描述:

    楼梯有N级台阶,上楼可以一步上一阶,也可以一步上二阶。编一递推程序,计算共有多少种不同走法?

    分析:

    台阶数1……方法数F1=1

    台阶数2……方法数F2=2

    台阶数为3的时候,方法数F3的分析如下:

    分两类:

    (1)第一步走1个台阶方法数是1;剩余的2个台阶方法数目为2.(这个是根据前述分析所得结果。)根据乘法原理,这一类情况下,走法数目为1*2=2

    (2)第一步走2个台阶方法数是1;剩余的1个台阶方法数目为1.(这个是根据前述分析所得结果。)根据乘法原理,这一类情况下,走法数目为1*1=1种

    综上所述,台阶数为3时,根据加法原理,走法数目为F3=2+1=3种

    台阶数为4的时候,方法数目F4的分析如下:

    分两类:

    (1)第一步走1个台阶方法数是1;剩余的3个台阶方法数目为3.(这个是根据前述分析所得结果。)根据乘法原理,这一类情况下,走法数目为1*3=3种

    (2)第一步走2个台阶方法数是1;剩余的2个台阶方法数目为2.(这个是根据前述分析所得结果。)根据乘法原理,这一类情况下,走法数目为1*2=2种

    综上所述,台阶数为4时,根据加法原理,走法数目为F4=3+2=5种

    ……

    台阶数为n的时候,方法数目的分析如下:

    分两类:

    (1)第一步走1个台阶方法数是1;剩余的n-1个台阶方法数目为Fn-1.(这个是根据前述分析所得结果。)根据乘法原理,这一类情况下,走法数目为1*Fn-1

    (2)第一步走2个台阶方法数是1;剩余的2个台阶方法数目为Fn-2.(这个是根据前述分析所得结果。)根据乘法原理,这一类情况下,走法数目为1*Fn-2

    综上所述,台阶数为n时,根据加法原理,走法数目为Fn=Fn-1+Fn-2种。

    所以,走n阶台阶的方法数目如下:(符合斐波列契数列(Faibonacci)的规则)

    F1=1 ……(N=1)
    F2=2 ……(N=2)
    Fn=Fn-1 + Fn-2 ……(N>=3)

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