极值问题（acms）

【问题描述】

已知m、n为整数，且满足下列两个条件：

① m、n∈{1，2，…，k}，即1≤m，n≤k，（1≤k≤10⁹）。

②（n²－m*n－m²）²＝1

你的任务是：编程输入正整数k，求一组满足上述两个条件的m、n，并且使m²＋n²的值最大。例如，从键盘输入k=1995，则输出：m=987   n=1597。

【输入样例】

1995

【输出样例】

m=987

n=1597

代码如下：

    long m,n,k;
    double delt1,delt2,n1,n2;
    scanf("%d",&k);
    for(m=k;m>=1;m--)
    {
        delt1=sqrt(5*m*m+4);
        n1=(m+delt1)/2;
        n=n1;
        if(n==n1&&n<=k) break;

        delt2=sqrt(5*m*m-4);
        n2=(m+delt2)/2;
        n=n2;
        if(n==n2&&n<=k) break;
    }
    printf("m=%d
n=%d
",m,n);

批注：该算法确实挺好，简洁、高效率，但是有一个问题比较明显，那就是当k的值达到10^9时，for循环内，m从k开始向1遍历。当m的值取10^9时，计算delt的时候，m^2会溢出。而且并非只有当k达到10^9才会有这个问题，当k达到10^5时就会出现这个问题。想要自己写一个函数去实现高精度数的开平方根，似乎也不是这么容易。所以，可以看看下面的递推算法。

标准答案是：

代码如下：

        int n=1,m=1,k,t;
    cin>>k;
    do
    {
        t=n+m;
        if(t<=k)
        {
            m=n;
                n=t;
        }
    }
    while(t<=k);
    cout<<"m="<<m<<endl<<"n="<<n;

批注：一开始阅读该算法，实在无法理解为何会是跟斐波那契数列一样的规律。后来查资料，阅读理解，终于看懂。下面做一个记录。