codevs 1576 最长严格上升子序列

题目链接：http://codevs.cn/problem/1576/

题目描述 Description

给一个数组a1, a2 ... an，找到最长的上升降子序列ab1<ab2< .. <abk，其中b1<b2<..bk。

输出长度即可。

输入描述 Input Description

第一行，一个整数N。

第二行 ，N个整数（N < = 5000）

输出描述 Output Description

输出K的极大值，即最长不下降子序列的长度

样例输入 Sample Input

5

9 3 6 2 7

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

【样例解释】

最长不下降子序列为3,6,7

解题思路

参考：北大郭炜老师

1.找子问题：“求以ak（ k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”
一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。
虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

2. 确定状态
子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度。状态一共有N个。

3. 找出状态转移方程

maxLen [k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度那么：
初始状态： maxLen [1] = 1
maxLen[k]= max { maxLen [i]： 1<=i < k 且 a[i ]< a[k]且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i,则maxLen[k] = 1

maxLen[k]的值，就是在a[k]左边，“终点”数值小于a[k] ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为a[k]左边任何“终点”小于a[k]的子序列，加上a[k]后就能形成一个更长的上升子序列 。

#include <stdio.h>
#define maxN 5005
int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
    
    for(i=1;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点 
    {
        for(j=0;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素 
        {
            if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列 
            {
                maxLen[i]=(maxLen[j]+1>maxLen[i]?maxLen[j]+1:maxLen[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d
",maxLen[n-1]);
    return 0;
}

上面的代码写错了，抱歉。更正如下：

#include <stdio.h>
#define maxN 5005
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j,t;
    int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
    int max;
    
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
    for(i=1;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点 
    {
        for(j=0;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素 
        {
            if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列 
            {
                maxLen[i]=(maxLen[j]+1>maxLen[i]?maxLen[j]+1:maxLen[i]);
            }
        }
    }
    max=maxLen[0];
    for(i=1;i<n;i++)
        if(maxLen[i]>max) max=maxLen[i];
    printf("%d
",max);
    return 0;
}

思考题 ： 如何改进程序，使之能够输出最长上升子序列 ？

思路：新增pre[ ]，其中pre[k]=x表示在a[ ]序列构成的若干个上升子序列中，a[k]的前驱是a[x]。一开始pre[ ]全部初始化为-1表示一开始所有元素的前驱都是自己本身。在循环求解maxLen[i]的同时，更新pre[i]。最后在扫描出maxLen[ ]最大值为maxLen[i]以后，从pre[i]往前推即可。假如要顺序输出该最长上升子序列，可以把逆推pre[ ]的过程保存再输出。

参考代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxN 5005
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j,t;
    int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
    int max;
    int pre[maxN];
    int c[maxN],maxIndex;
    
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
    
    for(i=1;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点 
    {
        for(j=0;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素 
        {
            if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列 
            {
                if(maxLen[j]+1>maxLen[i])
                {
                    maxLen[i]=maxLen[j]+1;
                    pre[i]=j;
                }
            }
        }
    }
    max=maxLen[0];
    for(i=1;i<n;i++)
        if(maxLen[i]>max) { max=maxLen[i]; maxIndex=i; }
    printf("%d
",max);
    
    j=0;
    c[j++]=a[maxIndex];
    while(pre[maxIndex]!=-1)
    {
        maxIndex=pre[maxIndex];
        c[j++]=a[maxIndex];
    }
    for(i=j-1;i>=0;i--)
    {
        printf("%d ",c[i]);
    }
    printf("
");
    return 0;
}

输出最长上升子序列的另一种思路：

#include <stdio.h>
int n,size,a[1005][5],s,ans,next;
int main(int argc, char *argv[])
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t;
        scanf("%d",&t);
        a[i][0]=t;a[i][1]=1;a[i][2]=0;
        //a[i][1]表示以a[i][0]开头的最长上升子序列的长度。
        //a[i][2]表示在以a[i][0]开头的最长上升子序列中a[i][0]的下一个数在原序列中的下标。
    }
    
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        size=next=0;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(a[j][0]>a[i][0]&&a[j][1]>size) {size=a[j][1];next=j;}
        if(size>0) {a[i][1]=size+1;a[i][2]=next;}
    }
    
    ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(a[i][1]>a[ans][1]) ans=i;
        
    printf("%d
",a[ans][1]);
    
    /*for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d %d %d %d
",a[i][0],a[i][1],a[i][2],i);*/
    
    int i=ans;
    while(a[i][2]>0)
    {
        printf("%d ",a[i][0]);
        i=a[i][2];
    }
    printf("%d
",a[i][0]);
    return 0;
}

测试OJ地址：

http://noi.openjudge.cn/ch0206/1759/

http://bailian.openjudge.cn/practice/2757/