Lintcode 730 所有子集的和

已知：

给一整数 n, 我们需要求前n个自然数形成的集合的所有可能子集中所有元素的和。

示例：

给出 n = 2, 返回 6
可能的子集为 {{1}, {2}, {1, 2}}. 
子集的元素和为 1 + 2 + 1 + 2 = 6

给出 n = 3, 返回 24
可能的子集为 {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
子集的和为:
1 + 2 + 3 + (1 + 2) + (1 + 3) + (2 + 3) + (1 + 2 + 3) = 24

思路：

其实这更像是一个数学问题，而不是代码问题。以4为例子，取一个数，则取1的可能性为1种，取两个数字，则取1的可能性为3种，取三个数字，则取1的可能性为3种，
取四个数字，可能性为1种，则1总共计算了 1+3+3+1 共8次, 其他三个数字也是8次。
所以，结合上面两个示例，很容易可以推的：
当已知n的值时，我们会取里面的每个数字2^(n-1)次

上述分析来源：http://blog.csdn.net/mio_bass/article/details/78797298

根据上述分析，求解的公式就是

公式解析：因为最后把所有子集的所有项累加的表达式里面，1~n的每一个数都有机会出现2^(n-1)次，所以求和表达式就变为：

最终变为上面第一个公式。

利用第一个公式求解就非常方便了。

补充：

对于“会取里面的每个数字2^(n-1)次”的另一种解析可以如下进行：

集合里面有1~n共n个元素。构造子集的时候，对每个元素而言都有取或不取两种选择，所以子集数目共有2^(n-1)个。

讨论这些子集：原集合的元素ai只有选和不选两种情况，故所有子集分两类：包含ai的子集和不包含ai的子集。每一类的子集个数都是2^(n-1)个。

所以最后面计算累加和的时候需要累加ai的次数是2^(n-1)次，也就是元素ai对累加和的贡献是ai*2^(n-1)。

每一个元素出现的次数都是2^(n-1)次，所以上述第二个公式即可推出来。

代码比较简单就不写了。

其他参考：

http://blog.csdn.net/zhaohengchuan/article/details/78716365

http://blog.csdn.net/u010005161/article/details/52175525