[CQOI2014]通配符匹配 题解

设(dp[i][j])表示文本串的前(j)个字符匹配了模式串第(i)个通配符（包括这个通配符）前面的所有字符，值为(0)代表不能，值为(1)代表可以

那么，显然有两种转移：第(i+1)个通配符是'(*)'或者'(?)'

转移的条件，是从第(j+1)个字符开始的一段字符串可以与第(i)个和第(i+1)个通配符之间的模板串字符匹配

设这一段模板串长度为(k)

如果是'(?)'，那么(dp[i+1][j+k+1]=1)

如果是'(*)'，那么(dp[i+1][j+k...strlen(s)]=1)

这个递推貌似是对的，但是有一个问题：

怎么足够快地知道，从第(j+1)个字符开始的一段字符串，与第(i)个和第(i+1)个通配符之间的模板串字符，可不可以匹配？？？

字符串Hash!!

#include <bits/stdc++.h>
#define ull signed long long
using namespace std ;
const int MAXN = 100000 + 5 ;
const ull Base = 19260817ull ;
char a[ MAXN ] , b[ 15 ][ MAXN ] ;
int len , dp[ 15 ][ MAXN ] ;
ull pw[ MAXN ] , pre[ MAXN ] , h[ 15 ] ;
int n , cnt , st[ 15 ] , sp[ 15 ] ;
inline ull Hash ( char s[] , int len ) {
    ull res = 0 ;
    for ( int i = 0 ; i < len ; i ++ ) res *= Base , res += (ull) s[ i ] ;
    return res ;
}
signed main () {
    // freopen ( "match3.in" , "r" , stdin ) ;
    scanf ( "%s" , a ) ;
    len = strlen ( a ) ; pw[ 0 ] = 1 ;
    for ( int i = 1 ; i <= MAXN - 5 ; i ++ ) pw[ i ] = pw[ i - 1 ] * Base ;
    if ( a[ 0 ] == '*' || a[ 0 ] == '?' ) h[ ++ cnt ] = Hash ( b[ cnt ] , st[ cnt ] = 0 ) ;
    for ( int i = 0 ; i < len ; ) {
        if ( a[ i ] == '*' || a[ i ] == '?' ) sp[ cnt ] = ( sp[ cnt ] || ( a[ i ] == '*' ) ) , i ++ ;
        int j = 0 ; cnt ++ ;
        while ( a[ i ] != '*' && a[ i ] != '?' && i < len ) b[ cnt ][ j ] = a[ i ] , i ++ , j ++ ;
        h[ cnt ] = Hash ( b[ cnt ] , st[ cnt ] = j ) ;
    }
    if ( a[ len - 1 ] == '*' || a[ len - 1 ] == '?' ) sp[ ++ cnt ] = h[ cnt ] = st[ cnt ] = 0 ;
    else sp[ cnt + 1 ] = 0 ;
    len ++ ;
    // for ( int i = 1 ; i <= cnt ; i ++ ) cout << st[ i ] << " " ; cout << endl ;
    scanf ( "%d" , &n ) ;
    while ( n -- ) {
        memset ( a , 0 , sizeof ( a ) ) ;
        scanf ( "%s" , a ) ; a[ strlen ( a ) ] = '$' ;
        len = strlen ( a ) ;
        memset ( dp , 0 , sizeof ( dp ) ) ; dp[ 0 ][ 0 ] = 1 ;
        for ( int i = 0 ; i < len ; i ++ ) pre[ i + 1 ] = pre[ i ] * Base + (ull) a[ i ] ;
        for ( int j = 0 ; j <= len ; j ++ ) {
            for ( int i = 0 ; i <= cnt ; i ++ ) {
                if ( !dp[ i ][ j ] ) continue ;
                ull t1 = pre[ j + st[ i + 1 ] ] - pre[ j ] * pw[ st[ i + 1 ] ] ;
                if ( t1 == h[ i + 1 ] ) {
                    if ( sp[ i + 1 ] ) for ( int k = j + st[ i + 1 ] ; k <= len ; k ++ ) dp[ i + 1 ][ k ] = 1 ;
                    else dp[ i + 1 ][ j + st[ i + 1 ] + 1 ] = 1 ;
                }
             }
        }
        if ( dp[ cnt ][ len ] ) printf ( "YES
" ) ;
        else printf ( "NO
" ) ;
    }
    return 0 ;
}

结果提交，90pts ，TLE

优化

我们发现程序中的

for ( int k = j + st[ i + 1 ] ; k <= len ; k ++ ) dp[ i + 1 ][ k ] = 1 ;

这个for循环时间复杂度实在太高

怎么办办?

这个(for)循环的作用，是在(sp[i+1]=1)，也就是下一个通配符为'(*)'的时候，用来一路更新下去的

但是这样更新来更新去，一定会导致(TLE)

那我们需要一个优化，让这个循环的过程分散到遍历(dp[i][j])的时候去，省去一层(n)的复杂度

这里，我们考虑使用不同的值来表示(dp[i][j])的不同意义：

当(dp[i][j]=−1)的时候，说明这个节点没有访问过，(continue)

当(dp[i][j]=0)的时候，说明这个节点被且仅被一个'?'往后的递推访问过，这时我们令(dp[i][j]=2,dp[i][j+1]=2)，并(continue)（因为当前节点并没有意义，只是访问过，不能继续递推）

当(dp[i][j]=1)的时候，说明这个节点是被'(*)'访问过的，这时我们令(dp[i][j+1]=1)，并且这个点有意义，可以往下递推

当(dp[i][j]=2)的时候，说明这个节点被'(?)'访问过的节点更新到了(2)，这时直接从这个节点往后递推，不需要更新值

最后，当(dp[i][j]=3)的时候——这个是一个非常特殊的情况

我们发现，上述的(-1)到(2)的值里面，(1)的优先级最高，(0)次之，(2)最低，(-1)可以被它们随便覆盖

但是我们的确会出现这样的情况：一个(0)延伸出来的(2)，覆盖到了另一个(0)

此时这个(0)不仅会令(dp[i][j]=dp[i][j+1]=2)，它自身也需要往下递推，而不是直接(continue)（因为上一个过来的2说明它有这个意义）

所以我们令这种情况下的(dp[i][j])的值为(3)，此时令(dp[i][j+1]=2)，并且从当前节点递推

初始化的时候，全部设为(-1)，(dp[0][0]=2)

最后如果(dp)[模板串的段数][文本串长度]不是(-1)的话，就输出(YES)，否则(NO)

#include <bits/stdc++.h>
#define ull signed long long
using namespace std ;
const int MAXN = 100000 + 5 ;
const ull Base = 19260817ull ;
char a[ MAXN ] , b[ 15 ][ MAXN ] ;
int len , dp[ 15 ][ MAXN ] ;
ull pw[ MAXN ] , pre[ MAXN ] , h[ 15 ] ;
int n , cnt , st[ 15 ] , sp[ 15 ] ;
inline ull Hash ( char s[] , int len ) {
    ull res = 0 ;
    for ( int i = 0 ; i < len ; i ++ ) res *= Base , res += (ull) s[ i ] ;
    return res ;
}
signed main () {
    // freopen ( "match3.in" , "r" , stdin ) ;
    scanf ( "%s" , a ) ;
    len = strlen ( a ) ; pw[ 0 ] = 1 ;
    for ( int i = 1 ; i <= MAXN - 5 ; i ++ ) pw[ i ] = pw[ i - 1 ] * Base ;
    if ( a[ 0 ] == '*' || a[ 0 ] == '?' ) h[ ++ cnt ] = Hash ( b[ cnt ] , st[ cnt ] = 0 ) ;
    for ( int i = 0 ; i < len ; ) {
        if ( a[ i ] == '*' || a[ i ] == '?' ) sp[ cnt ] = ( sp[ cnt ] || ( a[ i ] == '*' ) ) , i ++ ;
        int j = 0 ; cnt ++ ;
        while ( a[ i ] != '*' && a[ i ] != '?' && i < len ) b[ cnt ][ j ] = a[ i ] , i ++ , j ++ ;
        h[ cnt ] = Hash ( b[ cnt ] , st[ cnt ] = j ) ;
    }
    if ( a[ len - 1 ] == '*' || a[ len - 1 ] == '?' ) sp[ ++ cnt ] = h[ cnt ] = st[ cnt ] = 0 ;
    else sp[ cnt + 1 ] = 0 ;
    len ++ ;
    // for ( int i = 1 ; i <= cnt ; i ++ ) cout << st[ i ] << " " ; cout << endl ;
    scanf ( "%d" , &n ) ;
    while ( n -- ) {
        memset ( a , 0 , sizeof ( a ) ) ;
        scanf ( "%s" , a ) ; a[ strlen ( a ) ] = '$' ;
        len = strlen ( a ) ;
        memset ( dp , -1 , sizeof ( dp ) ) ; dp[ 0 ][ 0 ] = 2 ;
        for ( int i = 0 ; i < len ; i ++ ) pre[ i + 1 ] = pre[ i ] * Base + (ull) a[ i ] ;
        for ( int j = 0 ; j <= len ; j ++ ) {
            for ( int i = 0 ; i <= cnt ; i ++ ) {
                if ( dp[ i ][ j ] == -1 ) continue ;
                if ( dp[ i ][ j ] == 1 ) dp[ i ][ j + 1 ] = 1 ;
                if ( !dp[ i ][ j ] ) {
                    dp[ i ][ j ] = 2 ;
                    if ( dp[ i ][ j + 1 ] == -1 ) dp[ i ][ j + 1 ] = 2 ;
                    if ( dp[ i ][ j + 1 ] == 0 ) dp[ i ][ j + 1 ] = 3 ;
                    continue ;
                }
                if ( dp[ i ][ j ] == 3 ) {
                    dp[ i ][ j ] = 2 ;
                    if ( dp[ i ][ j + 1 ] == -1 ) dp[ i ][ j + 1 ] = 2 ;
                    if ( dp[ i ][ j + 1 ] == 0 ) dp[ i ][ j + 1 ] = 3 ;
                }
                ull t1 = pre[ j + st[ i + 1 ] ] - pre[ j ] * pw[ st[ i + 1 ] ] ;
                if ( t1 == h[ i + 1 ] ) dp[ i + 1 ][ j + st[ i + 1 ] ] = max ( dp[ i + 1 ][ j + st[ i + 1 ] ] , sp[ i + 1 ] ) ;
             }
        }
        if ( dp[ cnt ][ len ] != -1 ) printf ( "YES
" ) ;
        else printf ( "NO
" ) ;
    }
    return 0 ;
}