组合数问题 题解(虚数)

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题目大意

计算\(C_n^0+C_n^4+C_n^8+......C_n^n (n \mod 4=0 ;1\leq n \leq 1e18)\)

题目思路

如果是计算\(C_n^0+C_n^2+C_n^4+......C_n^n\)

显然

\((1+1)^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+......C_n^n\)

\((1-1)^n=C_n^0-C_n^1+C_n^2+......C_n^n\)

两式相加

\(C_n^0+C_n^2+C_n^4+......C_n^n=2^{n-1}\)

而下面就有点神奇要类比，想到虚数第一次真想不到

\((1+i)^n=C_n^0+C_n^1 i+C_n^2 i^2+......C_n^n i^n\)

\((1-i)^n=C_n^0-C_n^1 i+C_n^2 i^2+......C_n^n i^n\)

而\(i^2=-1\)

则\((1+i)^n+(1-i)^n=2\times (C_n^0-C_n^2+C_n^4+......C_n^n)\)

则\(C_n^0+C_n^4+C_n^8+......C_n^n=\frac{2^n+(i-1)^n+(i+1)^n}{4}\)

而\((i+1)^4=(i-1)^4=-4\)

最终

\(ans=\frac{2^n+2\times (-4)^\frac{n}{4}}{4}\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5,mod=998244353;
ll n;
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*base%mod;
        }
        b=b>>1;
        base=base*base%mod;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    ll ans=((qpow(2,n)+2*qpow(-4,n/4))*qpow(4,mod-2)%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}