2021寒假每日一题《K倍区间》

K倍区间

题目来源：第八届蓝桥杯省赛Java/C++大学B组
时间限制：\(1000ms\) 内存限制：\(64mb\)

题目描述

给定一个长度为 \(N\) 的数列，\(A_1,A_2,…,A_N\)，如果其中一段连续的子序列 \(A_i,A_{i+1},…,A_j\) 之和是 \(K\) 的倍数，我们就称这个区间 \([i,j]\) 是 \(K\) 倍区间。
你能求出数列中总共有多少个 \(K\) 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(K\) 。
以下 \(N\) 行每行包含一个整数 \(A_i\) 。

输出格式

输出一个整数，代表 \(K\) 倍区间的数目。

数据范围

\(1 ≤ N,K ≤ 100000\) ,
\(1 ≤ Ai ≤ 100000\)

样例输入

5 2
1
2
3
4
5

样例输出

6

解题思路

一个经典的前缀和题目
在读入 \(A_i\) 的时候直接存入前 \(i\) 项和。
求区间 \([i,j]\) 的和的时候，直接用前 \(j\) 项和 \(S_j\) 减去前 \(i\) 项和 \(S_i\) 就得到了，然后对其模 \(K\)，判断是否为 \(0\) 即可。

直接做会超时。
优化：
如果 \((S_i - S_j) \%k = 0\) ，那么 \(S_i\%k\) 和 \(S_j\%k\) 都等于 \(0\) 。
问题就转化为了，枚举终点坐标 \(x\) ，求有多少个数模\(k\)的余数是\(S_x\%k\)。即查找某一个数出现了多少次。

开一个 \(cnt\) 数组， \(cnt[x]\) 表示，余数为 \(x\) 的数的个数。
即求的就是 \(cnt[S_x\%k]\) ，每次算完就让 \(cnt[S_x\%k]++\) 。

解题代码-Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n = input.nextInt();
        int k = input.nextInt();
        long[] a = new long[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = a[i - 1] + input.nextInt();
        }
        input.close();

        long ans = 0;
        int[] cnt = new int[n+1];
        cnt[0]++;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans += cnt[(int) (a[i]%k)];
            cnt[(int) (a[i]%k)]++;
        }

        System.out.println(ans);
    }
}