三种常用的迭代搜索优化方法

三种常用的迭代搜索优化方法

梯度下降 牛顿法 坐标上升

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因为梯度下降和牛顿法都是非常常用的，在前面的文章中也做过总结，这里不做详细说明。
梯度下降与牛顿方法是两种非常常用的迭代优化方法，主要的思想就是通过迭代，一步一步地逼近最优解。

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梯度下降比较直观，沿着梯度的反方向进行搜索，属于典型的贪婪算法，迭代搜索的每一步都是当前最优的下降方向，但在全局看来可能并不是最优的下降曲线；所以梯度下降法的初始值如果比较好的话，比如想象一下目标函数曲线像是一个连绵起伏的山峰，如果初始值能够初始在具有最低谷的坡面上，通过梯度下降一定能够得到全局的最优值；而如果初始值不好，站在了一个较高山谷的坡面上，通过常规的梯度下降法，只能搜索到该局部最优的山谷低，而不能从该山谷爬出来，重新搜索更低谷。要改善梯度下降这一局部最优困境的方法，可以采用模拟退火，让搜索具有一定概率爬坡能力，即在搜索到了较高山谷时，使之有一定的概率爬出山谷，继续搜索。具体的可以参看随机神经网络一章节的文章，《随机神经网络之模拟退火》

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牛顿法则是通过分析极大和极小值处曲线的特性，通过求导，并使导数为0，构造典型的f(X)=0的优化形式，每一步都从该点处的切线位置与X轴（或平面）相交的处的X作为下一次迭代的搜索位置的X坐标（对应的y可以通过f(X)求得）。通常情况下牛顿法收敛速度比梯度下降方法要快。

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第三个要将的是以前没有了解的坐标上升的方法，这个优化搜索方法是在支持向量机部分引入的，为了解决soft margin SVM的优化问题。
问题描述：

maxα　W(α1,α2,...,αm)

坐标上升（coordinate ascent）算法描述：
Loopuntilconvergence:{
For i=1,...,m, {
αi:=arg　maxαiW(α1,...,αi−1,αi,αi+1,...,αm).
}
}
算法分析说明：
调节αi，固定其余所有的αj，然后解决单变量的优化问题，得到一个最优值对应的α∗i，然后换一个变量α，同样固定其余的，再次解单变量的优化问题，重复操作直到满足迭代终止条件为之。
算法的优点：
坐标上升算法的最内层的循环是非常简单的，所以迭代的效率可能比较高，也就是说经过拆分后的优化问题转变为了单变量优化，这种优化问题十分简单，所以算法从整体上比较容易实施。
算法的缺点：
优点简单，缺点也很明显，因为简单所以搜索的速度、效率可能比梯度下降和牛顿法要差。
算法的注意事项：
类似于梯度下降，为了避免局部最优，一种可能的方法就是引入随机因素。采用随机选择变量优化顺序，比如可以采用洗牌，将顺序打乱，然后再进行逐个变量的优化，一轮过后再次洗牌，在进行优化，这样的方式可能更加易于收敛。
算法的直观演示，如下图：

图中不同的颜色标识不同的变量，梯度上升的方法就是一步步的逼近，一次只对一个变量进行最优化。

该方法还可以应用在一些特定约束条件下的优化，比如同样的问题：

maxα　W(α1,α2,...,αm)α1×y(1)+α2×y(2)+...+αm×y(m)=0

算法可以改为：α1×y(1)+α2×y(2)=ρ，
这样的话可以固定α3,α4,...,αm，调整α1,α2，这样等于说将α1,α2通过ρ联系在了一起，具体的算法调整示意图如下图所示：

图中所示的方框是可行域，而那条斜线表示正是α1,α2的关系，也就是约束，这样的话，α1,α2只能在这条斜线在可行域内部的一段上取值了。

说明：主要是在soft margin的SVM中，对于最后的W(α1,α2,...,αm)优化时，通过这样的改造后的坐标系上升方法实现的，在固定完其余的变量后，W被改造为α2的二次函数，这样通过求得最低点，如果不在可行域的那段斜线上，就取最近的那个作为最优值。即如下图所示：

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2015-9-10 艺少