一、前言
经过一段时间的积累，对于神经网络，已经基本掌握了感知器、BP算法及其改进、AdaLine等最为简单和基础的前馈型神经网络知识，下面开启的是基于反馈型的神经网络Hopfiled神经网络。前馈型神经网络通过引入隐层及非线性转移函数（激活函数）使得网络具有复杂的非线性映射能力。前馈网络的输出仅由当前输入和权矩阵决定，而与网络先前的输出状态无关。J.J. Hopfield教授在反馈神经网络中引入了能量函数的概念，使得反馈型神经网络运行稳定性的判断有了可靠依据，1985年Hopfield和Tank共同用模拟电子线路实现了Hopfield网，并成功的求解了优化组合问题中最具有代表性的旅行商TSP问题，从而开辟了神经网络用于智能信息处理的新途径。
前馈网络中，不论是离散还是连续，一般都不考虑输入和输出之间在时间上的滞后性，而只是表达两者间的映射关系，但在Hopfield网络中，需考虑输入输出间的延迟因素，因此需要通过微分方程或差分方程描述网络的动态数学模型。
神经网络的学习方式包括三种：监督学习、非监督学习、灌输式学习。对于Hopfield网络的权值不是经过反复学习获得的，而是按照一定的实现规则计算出来，在改变的是网络的状态，直到网络状态稳定时输出的就是问题的解。
Hopfield网络分为连续性和离散型，分别记为CHNN和DHNN。这里主要讲解DHNN。
二、DHNN
1. 网络结构与工作方式
DHNN的特点是任一神经元的输出xi均通过链接权wij反馈至所有神经元xj作为输入，目的是为了让输出能够受到所有神经元的输出的控制，从而使得各个神经元的输出相互制约。每个神经元均设有一个阈值Tj，以反映对输入噪声的控制。DHNN可简记为N=（W,T）。
（1） 网络的状态
所有神经元的状态集合构成了反馈网络状态X=（x1,x2,x3,...,xn），反馈网络的输入就是网络的状态初始值，X（0） = （x1(0),x2(0),x3(0),...,xn(0)）。反馈网络在外界输入的激发下，从初始状态进入动态演变过程，其间每个神经元的状态不断变化，变化规律为：xj = f（net-j），f为转移函数，常采用符号函数，则神经元j的净输入net-j = sum(wji*xi - Tj)，对于DHNN网，一般有wii = 0， wji= wij。即权矩阵的对角线元素为0，且为对阵矩阵。表示神经元i的输出不反馈到神经元i，而是反馈到神经元i以外的所有神经元的输入端。
反馈网络稳定时每个神经元的状态都不再改变，即X(t) = X(t+1) = ... = X(∞)。
（2） 网络的异步工作方式
串行，网络每次只对一个神经元的状态进行调整计算，其他均不变。这样调整的顺序就有一定的影响了。可以随机选定或者按照固定的顺序。本次调整的结果会在下一个神经元的净输入中发挥作用。
（3） 网络的同步工作方式
并行，所有神经元同时进行状态调整计算。
2. 网络的稳定性与吸引子
（1） 稳定性
反馈网络是一种能够存储若干预先设置的稳定点的网络，作为非线性动力学系统，具有丰富的动态特性，如稳定性、有限环状态和混沌状态等；
稳定性指的是经过有限次的递归后，状态不再发生改变；
有限环状态指的是限幅的自持震荡；
混沌状态指的是网络状态的轨迹在某个确定的范围内变迁，既不重复也不停止，状态变化无穷多个，轨迹也不发散到无穷远。
对于DHNN，由于网络状态是有限的，不可能出现混沌状态。
利用Hopfield网络可实现联想记忆功能：用网络的稳态表示一种记忆模式，初始状态朝着稳态收敛的过程便是网络寻找记忆模式的过程，初态可视为记忆模式的部分信息，网络演变可视为从部分信息回忆起全部信息的过程，从而实现联想记忆。
可实现优化求解问题：将带求解问的目标函数设置为网络能量函数，当能量函数趋于最小时，网络状态的输出就是问题的最优解。网络的初态视为问题的初始解，而网络从初始状态向稳态的收敛过程便是优化计算过程，这种寻优搜索是在网络演变过程中自动完成的。
（2） 吸引子与能量函数
网络的稳定状态X就是网络的吸引子，用于存储记忆信息。网络的演变过程就是从部分信息寻找全部信息，即联想回忆过程。吸引子有以下的性质：
X=f(WX-T)，则X为网络的吸引子；
对于DHNN，若按异步方式调整，且权矩阵W为对称，则对于任意初态，网络都最终收敛到一个吸引子；
对于DHNN，若按同步方式调整，且权矩阵W为非负定对称，则对于任意初态，网络都最终收敛到一个吸引子；
X为网络吸引子，且阈值T=0，在sign(0)处，xj(t+1) = xj(t)，则-X也一定是该网络的吸引子；
吸引子的线性组合，也是吸引子；
能使网络稳定在同一吸引子的所有初态的集合，称为该吸引子的吸引域；
对于异步方式，若存在一个调整次序，使网络可以从状态X演变为Xa，则称X弱吸引到Xa；若对于任意调整次序，网络都可以从X演变为Xa，则称X强吸引到Xa。则对应弱吸引域和强吸引域。
若使反馈网络具有联想能力，每个吸引子都应该具有一定的吸引域，只有这样，对于带有一定噪声或缺损的初始样本，网络才能经过动态演变而稳定到某一个吸引子状态，从而实现正确联想。反馈网络设计的目的就是要使网络能落到期望的稳定点上，并且还要具有尽可能大的吸引域，以增强联想功能。
3. 网络的权值设计
吸引子的分布是由网络权值包括阈值决定的，设计吸引子的核心就是如何设计一组合适的权值，为了使得所设计的权值满足要求，权值矩阵应符合以下要求：
（1） 为保证异步方式网络收敛，W为对称矩阵；
（2） 为保证同步方式网络收敛，W为非负定对称矩阵；
（3） 保证给定的样本是网络的吸引子，并且要有一定的吸引域。
根据应用所要求的吸引子数量，可以采用以下不同的方法：
（1） 联立方程法
对于吸引子较少时，可采用该方法。
（2） 外积和法
对于吸引子较多时，可采用该方法。采用Hebb规律的外积和法。
参考资料：
韩力群，人工神经网络教程，北京邮电大学出版社，2006年12月