【Leetcode】【Medium】Triangle

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

解题思路1：

使用动态规划的思路求解（解法2更符合动态规划思想）。

题目要求只能使用n的额外空间，首先想到了不断迭代数组的方法。

新建包含n个元素的数组A，初始值A[0] = triangle[0][0]，即triangle第一层那唯一一个元素的值。

A表示路径运行到当前位置的最小值，之后从第二层到最后一层不断迭代，不断计算到达新一层各个位置的最小值，迭代结束后，返回数组A中记录的最小路径值，即为题目所求。

需要注意的是：

1，因为后一层比前一层多一个元素，所以每层首尾元素在计算时需要特殊对待：

　　A[0] = triangle[i][0] + A[0];

　　A[i-1] =  triangle[i][i-1] + A[i]

　其他元素公式为：

　　A[j] = triangle[i][j] + min(A[j], A[j-1])

2、迭代数组过程，由于新旧值交替运算，很容易出错的地方是，计算一个新值时覆盖了仍需使用的旧值，导致计算其他新值时出错；

　针对本题：

　　除了首尾元素外，每次计算一个新值A[j]，都需要用到旧的数组中保存的A[j]和A[j-1]的值；

　　因此从后往前更新，可以避免出现错误计算。

代码：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<int> path(n);
        path[0] = triangle[0][0];
        
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            path[i] = triangle[i][i] + path[i-1];
            for (int j = i - 1; j > 0; --j) {
                path[j] = triangle[i][j] + min(path[j], path[j-1]);
            }
            path[0] = triangle[i][0] + path[0];
        }
        
        int min = path[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i){
            if (path[i] < min)
                min = path[i];
        }
        
        return min;
    }
};

解题思路2：

上一解中存在两个问题：

1、由于从上到下计算，每层比上一层元素多，造成必须单独计算首尾元素，代码丑陋，可读性降低；

　　解决：如果从下向上迭代运算，则可以解决这个问题；

2、最终还要遍历数组path，找到最小值返回，增加了时间；

　　解决：如果从下向上迭代计算，每次计算都表示从当前位置出发，路径和的最小值，那么迭代到第一层时，就为要求的结果。

新的解法：

数组A初始值设为三角最底一层值，之后由下向上迭代三角。

A[j]的意义为：保存从当前位置运动到三角最底层，所需要的最小路径和；

而每次迭代的意义为：从当前位置，向下选择，选择下一层中，到达底端最小的路径，作为当前位置到达底端的最小路径；

注，和思路一一样，需要在数组迭代中防止新旧值交叉，因为A[j] = triangle[i][j] + min(A[j], A[j+1])，因此从左向右计算新值较为合理。

代码：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<int> path(triangle.back());
        
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++j) {
                path[j] = triangle[i][j] + min(path[j], path[j+1]);
            }
        }
        
        return path[0];
    }
};