题意：以质因数分解的方式给定n，求所有满足：lcm(a, b) = n的无序数对的价值和。其中(a, b)的价值为a + b
解：
定义首项为a，公比为q，项数为n的等比数列的和为getQ(a, q, n)
首先考虑只有一个质因数，例如4。
有如下数对：(1, 4), (2, 4), (4, 4)
可得答案为getQ(1, 2, 2) + 43
然后扩展：6。
对于每个质因数来说：
2: (1, 2), (2, 2)
3: (1, 3), (3, 3)
两两乘起来之后发现：少了一项(2, 3)，这是由于我们用的是无序数对。那么改成有序数对试试。
2: 3:
(1, 2) (1, 3)
(2, 1) (3, 1)
(2, 2) (3, 3)
交叉相乘：
(1, 6) (3, 2) (3, 6)
(2, 3) (6, 1) (6, 3)
(2, 6) (6, 2) (6, 6)
发现所有无序数对除了(6, 6)之外都出现了两次，于是补上一个(6, 6)之后/2即可。
现在考虑如何求交叉相乘的表。
设我们的两列数对如下：
(a, b) (e, f)
(c, d) (g, h)
要求的式子：
ae + bf + ag + bh + ce + df + cg + dh
因式分解：
(a + c)(e + g) + (b + d)(f + h)
考虑我们一开始列出来的某一列：
2：
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
可得：a + c = b + d
故上式 = 2(a + c)(e + g)
推广：
设n = Πaipi，则ans = 2Π{getQ(1, a[i], p[i] + 1) + pi * aipi}
复杂度TmlogV，其中V为指数值域。
1 #include <cstdio> 2 3 typedef long long LL; 4 const int N = 17; 5 const LL MO = 1e9 + 7; 6 7 int a[N], p[N]; 8 9 inline LL qpow(LL a, LL b) { 10 LL ans = 1; 11 while(b) { 12 if(b & 1) { 13 ans = ans * a % MO; 14 } 15 a = a * a % MO; 16 b = b >> 1; 17 } 18 return ans; 19 } 20 21 inline LL getQ(LL a, LL q, LL n) { 22 a %= MO; 23 if(!n) { 24 return 0ll; 25 } 26 if(n == 1 || !a || !q) { 27 return a; 28 } 29 if(n == 2) { 30 return (a + a * q % MO) % MO; 31 } 32 if(n & 1) { 33 return (a + getQ(a * q % MO, q, n - 1)) % MO; 34 } 35 return (qpow(q, n >> 1) + 1) * getQ(a, q, n >> 1) % MO; 36 } 37 38 inline void solve() { 39 int n; 40 scanf("%d", &n); 41 for(int i = 1; i <= n; i++) { 42 scanf("%d%d", &a[i], &p[i]); 43 } 44 LL ans = 2, sum = 1; 45 for(int i = 1; i <= n; i++) { 46 LL temp = qpow(a[i], p[i]) * p[i] % MO; 47 (temp += getQ(1, a[i], p[i] + 1)) %= MO; 48 ans = ans * temp % MO; 49 (sum *= qpow(a[i], p[i])) %= MO; 50 //printf("temp : %lld ", temp); 51 } 52 //printf("sum = %lld ", sum); 53 ans = (ans + sum + sum) % MO; 54 ans = ans * ((MO + 1) >> 1) % MO; 55 printf("%lld ", ans); 56 return; 57 } 58 59 int main() { 60 61 int T; 62 scanf("%d", &T); 63 for(int i = 1; i <= T; i++) { 64 printf("Case %d: ", i); 65 solve(); 66 } 67 68 return 0; 69 }
题外话：这东西是我在某个最小割练习题表里面看到的......