HDU2866 Special Prime
Description
给定L,求有多少个小于L的素数p，满足方程(n^3+p*n^2=m^3) (nin Z^+,min Z^+)
Input Format
输入有多组数据，每组数据一行，每行一个正整数L。
Output Format
对于每组数据输出一行一个正整数，表示满足条件的素数个数，若没有满足条件的素数输出“No Special Prime!”
Sample Input
7
777
Sample Output
1
10
Solution
引理一：(k in Z^+),((k^2+k^3))不是完全立方数。
证明：
假设(k^2+k^3=a^3)，显然(a>k)
则(k^2=a^3-k^3)
(=(a-k)(a^2+a*k+k^2))
(geq a^2+a*k+k^2)
(>k^2)
存在矛盾，故假设不成立，所以(forall k in Z^+ ,(k^2+k^3))不是完全立方数
引理二：(n in Z^+ ，若n^2为完全平方数，则n也为完全平方数)
证明：
(n^2=x^3)
(n=prod_{i=1}^k {p_i^{a_i}} ,forall a_i in Z^+)
(ecause sqrt [3] {n^2}=prod_{i=1}^k {p_i^{frac {2*a_i} 3}} in Z^+)
( herefore sqrt [3] n= prod_{i=1}^k {p_i^{frac {a_i} 3}in Z^+})
( herefore n为完全立方数)
假设n,p不互质，则
(n=p*k)
(k^3*p^3+k^2+p^3=m^3)
((k^2+k^3)*p^3=m^3)
由引理一可得m不是整数，与条件矛盾，所以n与p互质
gcd(n+p,p)=gcd(n,p)=1，所以n与n+p互质
所以(n^2与n+p互质)
又因为(n^2(n+p)=m^3)
所以(n^2,n+p)为完全立方数
由引理二得(n)也为完全立方数
设(n=a^3,n+p=b^3)
得(p=b^3 -a^3)
(=(b-a)(b^2 +ab+a^2))
因为(p)为素数，所以(b-a=1)(因为 (b-a) 与 (b^2+ab+a^2)皆为正整数，所以两者之中必定是一个为(1)一个为(p))
代入得(p=3a^2+3a+1)
所以(Ans=sum _{i=1}^{3i^2+3i+1 leq L}[3i^2+3i+1为素数])