线性方程有很多种，最常见的是二元一次方程。
问题一：
给定一个一元二次方程ax+by=c，求出一个整数解。
该方程有解的充要条件是gcd(a,b)|c，若不满足此条件，则方程一定无整数解。
可以根据扩展欧几里得求出ax+by=gcd(a,b)的一组特解，再将解乘c/gcd(a,b)即得到一组解。
扩展欧几里得算法：
设z|x，z|y，根据整除的传递性，z|(x-y)，进而可知，当z为gcd(x,y)时，z=gcd(y,x-y)，可得gcd(x,y)=gcd(y,x-y)。
进而可知gcd(x,y)=gcd(y,x-y)=gcd(y,x-2*y)=gcd(y,x-3*y)=……=gcd(y,x%y)。
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
p*a+q*b=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=p*b+q*a%b
a%b=a-a/b*b
整理可得p*a+q*b=q*a+(p-a/b*q)*b
在求gcd的过程中递归即可。
模板：
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 using namespace std;
4 long long a,b,c;
5 long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
6 {
7 if(b==0)
8 {
9 x=1;
10 y=0;
11 return a;
12 }
13 long long gcd=ex_gcd(b,a%b,x,y);
14 long long temp=x;
15 x=y;
16 y=temp-a/b*y;
17 return gcd;
18 }
19 int main()
20 {
21 cin>>a>>b;
22 long long x,y;
23 ex_gcd(a,b,x,y);
24 cout<<x<<" "<<y;
25 return 0;
26 }
问题二：
给定同余方程ax≡b(mod p)，求其最小正整数解。
该方程可转化为ax+py=b用扩展欧几里得求得特解后，将其转化为最小正整数解。
对于所有的x，其差值最小为p/gcd，设delta=p/gcd，则最小正整数解x0=(x%delta+delta)%delta。
问题三：
给定方程ax+by=c，求其正整数解的数量。
将c转化为正数，这样比较好处理。
由解析几何的知识可知，该方程在坐标系中等价于直线y=-a/b*x+c/b。
由此可以判断一些特殊解。
用扩展欧几里得可求出一组解，我们还知道x，y的最小增量dex，dey。
如果方程有有限个解，x有最大和最小值。
x和y的增长关系是相反的，即当x=x-dex时，y=y+dey。当x为最小整数解时，x=minx，当y为最小整数解时，x=maxx。
求得minx和maxx后，两者相减，再除以最小增量，加一即为解的个数。
Code：
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #define LL long long
4 using namespace std;
5 int T,opa,opb;
6 LL a,b,c;
7 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
8 {
9 if(b==0){
10 x=1;y=0;
11 return a;
12 }
13 LL gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
14 LL temp=x;
15 x=y;
16 y=temp-a/b*y;
17 return gcd;
18 }
19 bool judge(LL x,LL y)
20 {
21 if(x<0) x=-x;
22 if(y<0) y=-y;
23 LL xx,yy;
24 LL gcd=exgcd(x,y,xx,yy);
25 if(c%gcd==0) return true;
26 else return false;
27 }
28 int main()
29 {
30 scanf("%d",&T);
31 while(T--)
32 {
33 scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
34 if(c<0){
35 a=-a;b=-b;c=-c;
36 }
37 if(a==0&&b==0) {
38 if(c==0) cout<<"ZenMeZheMeDuo"<<endl;
39 else cout<<0<<endl;
40 continue;
41 }
42 else if(a==0){
43 if(c%b==0&&b>0) cout<<"ZenMeZheMeDuo"<<endl;
44 else cout<<0<<endl;
45 continue;
46 }
47 else if(b==0){
48 if(c%a==0&&a>0) cout<<"ZenMeZheMeDuo"<<endl;
49 else cout<<0<<endl;
50 continue;
51 }
52 if(b<0&&a<0){
53 cout<<0<<endl;
54 continue;
55 }
56 else if(a*b<0){
57 if(!judge(a,b)) cout<<0<<endl;
58 else cout<<"ZenMeZheMeDuo"<<endl;
59 continue;
60 }
61 LL x,y;
62 LL gcd=exgcd(a,b,x,y);
63 if(c%gcd!=0){
64 cout<<0<<endl;
65 continue;
66 }
67 LL pow=c/gcd;
68 x=x*pow;y=y*pow;
69 LL dex=b/gcd,dey=a/gcd;
70 LL k=x/dex;
71 x=x-k*dex;y=y+k*dey;
72 if(x<=0){
73 x+=dex;y-=dey;
74 }
75 if(y<=0){
76 cout<<0<<endl;
77 continue;
78 }
79 LL minx=x;
80 k=y/dey;
81 x=x+k*dex;y=y-k*dey;
82 if(y<=0){
83 x-=dex;y+=dey;
84 }
85 LL maxx=x;
86 LL ans=(maxx-minx)/dex+1;
87 if(ans>65535) cout<<"ZenMeZheMeDuo"<<endl;
88 else if(ans<=0) cout<<0<<endl;
89 else cout<<ans<<endl;
90 }
91 return 0;
92 }