二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称为二叉搜索树、有序二叉树（ordered binary tree）或排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：
- 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
- 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
- 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
- 没有键值相等的节点。
二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为
。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、多重集、关联数组等。
二叉查找树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉查找树的存储结构。中序遍历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉查找树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行查找的过程。每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索、插入、删除的复杂度等于树高，期望
，最坏
（数列有序，树退化成线性表）。虽然二叉查找树的最坏效率是，但它支持动态查询，且有很多改进版的二叉查找树可以使树高为，从而将最坏效率降至，如AVL树、红黑树等。
目录
二叉搜索树的查找算法
在二叉搜索树b中查找x的过程为：
- 若b是空树，则搜索失败，否则：
- 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：
- 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：
- 查找右子树。
Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p) {
// 在根指针T所指二元查找樹中递归地查找其關键字等於key的數據元素，若查找成功，
// 則指针p指向該數據元素節點，并返回TRUE，否則指针指向查找路徑上訪問的最後
// 一個節點并返回FALSE，指针f指向T的雙親，其初始调用值為NULL
if (!T) { // 查找不成功
p = f;
return false;
} else if (key == T->data.key) { // 查找成功
p = T;
return true;
} else if (key < T->data.key) // 在左子樹中繼續查找
return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
else // 在右子樹中繼續查找
return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
}在二叉搜索树插入节点的算法
向一个二叉搜索树b中插入一个节点s的算法，过程为：
- 若b是空树，则将s所指节点作为根节点插入，否则：
- 若s->data等于b的根节点的数据域之值，则返回，否则：
- 若s->data小于b的根节点的数据域之值，则把s所指节点插入到左子树中，否则：
- 把s所指节点插入到右子树中。（新插入节点总是叶子节点）
/* 当二元搜尋樹T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回 FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, ElemType e) {
if (!T) {
s = new BiTNode;
s->data = e;
s->lchild = s->rchild = NULL;
T = s; // 被插節点*s为新的根结点
} else if (e.key == T->data.key)
return false;// 关键字等于e.key的数据元素，返回錯誤
if (e.key < T->data.key)
InsertBST(T->lchild, e); // 將 e 插入左子樹
else
InsertBST(T->rchild, e); // 將 e 插入右子樹
return true;
}在二叉查找树删除结点的算法
删除一个有左、右子树的节点
在二叉查找树删去一个结点，分三种情况讨论：
- 若*p结点为叶子结点，即PL（左子树）和PR（右子树）均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
- 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉查找树的特性。
- 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左/右（依*p是*f的左子树还是右子树而定）子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（in-order predecessor）或直接后继（in-order successor）替代*p，然后再从二叉查找树中删去它的直接前驱（或直接后继）。
在二叉查找树上删除一个结点的算法如下：
Status DeleteBST(BiTree *T, KeyType key) {
// 若二叉查找树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回
// TRUE；否则返回FALSE
if (!T)
return false; //不存在关键字等于key的数据元素
else {
if (key == T->data.key) // 找到关键字等于key的数据元素
return Delete(T);
else if (key < T->data.key)
return DeleteBST(T->lchild, key);
else
return DeleteBST(T->rchild, key);
}
}
Status Delete(BiTree *&p) {
// 该节点为叶子节点，直接删除
BiTree *q, *s;
if (!p->rchild && !p->lchild) {
delete p;
p = NULL; // Status Delete(BiTree *&p) 要加&才能使P指向NULL
} else if (!p->rchild) { // 右子树空则只需重接它的左子树
q = p->lchild;
/*
p->data = p->lchild->data;
p->lchild=p->lchild->lchild;
p->rchild=p->lchild->rchild;
*/
p->data = q->data;
p->lchild = q->lchild;
p->rchild = q->rchild;
delete q;
} else if (!p->lchild) { // 左子树空只需重接它的右子树
q = p->rchild;
/*
p->data = p->rchild->data;
p->lchild=p->rchild->lchild;
p->rchild=p->rchild->rchild;
*/
p->data = q->data;
p->lchild = q->lchild;
p->rchild = q->rchild;
delete q;
} else { // 左右子树均不空
q = p;
s = p->lchild;
while (s->rchild) {
q = s;
s = s->rchild;
} // 转左，然后向右到尽头
p->data = s->data; // s指向被删结点的“前驱”
if (q != p)
q->rchild = s->lchild; // 重接*q的右子树
else
q->lchild = s->lchild; // 重接*q的左子树
delete s;
}
return true;
}在C语言中有些编译器不支持为struct Node 节点分配空间，声称这是一个不完全的结构，可使用一个指向该Node的指针为之分配空间。
- 如：
sizeof( Probe )，Probe作为二叉树节点在typedef中定义的指针。
Python实现：
def find_min(self): # Gets minimum node (leftmost leaf) in a subtree
current_node = self
while current_node.left_child:
current_node = current_node.left_child
return current_node
def replace_node_in_parent(self, new_value=None):
if self.parent:
if self == self.parent.left_child:
self.parent.left_child = new_value
else:
self.parent.right_child = new_value
if new_value:
new_value.parent = self.parent
def binary_tree_delete(self, key):
if key < self.key:
self.left_child.binary_tree_delete(key)
elif key > self.key:
self.right_child.binary_tree_delete(key)
else: # delete the key here
if self.left_child and self.right_child: # if both children are present
successor = self.right_child.find_min()
self.key = successor.key
successor.binary_tree_delete(successor.key)
elif self.left_child: # if the node has only a *left* child
self.replace_node_in_parent(self.left_child)
elif self.right_child: # if the node has only a *right* child
self.replace_node_in_parent(self.right_child)
else: # this node has no children
self.replace_node_in_parent(None)二叉查找树的遍历
中序遍历（in-order traversal）二叉查找树的Python代码：
def traverse_binary_tree(node, callback):
if node is None:
return
traverse_binary_tree(node.leftChild, callback)
callback(node.value)
traverse_binary_tree(node.rightChild, callback)排序（或称构造）一棵二叉查找树
用一组数值建造一棵二叉查找树的同时，也把这组数值进行了排序。其最差时间复杂度为
。例如，若该组数值已经是有序的（从小到大），则建造出来的二叉查找树的所有节点，都没有左子树。自平衡二叉查找树可以克服上述缺点，其时间复杂度为O(nlog n)。一方面，树排序的问题使得CPU Cache性能较差，特别是当节点是动态内存分配时。而堆排序的CPU Cache性能较好。另一方面，树排序是最优的增量排序（incremental sorting）算法，保持一个数值序列的有序性。
def build_binary_tree(values):
tree = None
for v in values:
tree = binary_tree_insert(tree, v)
return tree
def get_inorder_traversal(root):
'''
Returns a list containing all the values in the tree, starting at *root*.
Traverses the tree in-order(leftChild, root, rightChild).
'''
result = []
traverse_binary_tree(root, lambda element: result.append(element))
return result二叉查找树性能分析
每个结点的
为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉查找树蜕变为单支树，树的深度为
，其平均查找长度为
（和顺序查找相同），最好的情况是二叉查找树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和
成正比
。
二叉查找树的优化
一般的二叉查找树的查询复杂度取决于目标结点到树根的距离（即深度），因此当结点的深度普遍较大时，查询的均摊复杂度会上升。为了实现更高效的查询，产生了平衡树。在这里，平衡指所有叶子的深度趋于平衡，更广义的是指在树上所有可能查找的均摊复杂度偏低。请参见主条目平衡树。