模板 快速幂|取余

前置知识

  

(1)如果将 aa 自乘一次，就会变成 a^2a2 。再把 a^2a2 自乘一次就会变成 a^4a4 。然后是 a^8a8…… 自乘 nn 次的结果是 a^{2^{n}}a2n 。对吧……

(2)a^xa^y = a^{x+y}axay=ax+y，这个容易。

(3)将 bb 转化为二进制观看一下：

比如 b = (11)_{10}b=(11)10​ 就是 (1011)_{2}(1011)2​ 。从左到右，这些 11 分别代表十进制的 8,2,18,2,1。可以说 a^{11} = a^8 × a^2 × a^1a11=a8×a2×a1。

为什么要这样表示？因为在快速幂的过程中，我们会把 aa 自乘为 a^2a2，然后 a^2a2 自乘为 a^4a4……像上面第一条说的。

取余运算有一些好用的性质，包括：

(A+B) \mod b = (A \mod b + B \mod b) \mod b(A+B)modb=(Amodb+Bmodb)modb

(A×B) \mod b = ((A \mod b) × (B \mod b)) \mod b(A×B)modb=((Amodb)×(Bmodb))modb

 

  

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
const double PI = acos(-1.0);
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
using namespace std;

ll quickPower(ll a, ll b,ll m) {   //计算a的b次方
    ll ans = 1;
    ll base = a;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans *= base;
            ans %= m;
        }
        base *= base;
        base %= m;
        b >>= 1;   //注意是b>>=1 not b>>1
    }
    return ans;
}

int main() {
    ll b, p, k;
    scanf("%lld%lld%lld", &b, &p, &k);
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",b,p,k,quickPower(b, p, k) % k);
    return 0;
}

 洛谷 1010 幂次方

  

   

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
const double PI = acos(-1.0);
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
using namespace std;

string run(int x, int i = 0, string s = string("")) {
    if (!x) return string("0");
    do if (x & 1) s = (i == 1 ? "2" : "2(" + run(i) + ")") + (s == "" ?"": "+") + s;
    while (++i, x >>= 1);
    return s;
}

int main() {
    int x;
    scanf("%d", &x);
    printf("%s", run(x).c_str());
    return 0;
}