HZNUACM寒假集训Day12小结 数论入门

符号说明 

    a|b      a整除b

  (a,b)    a与b的最大公因数 

  [a,b]     a与b的最小公倍数

  p^α||a    pα|a但p^α+1∤a

  a≡b(mod m) a与b对模m同余

  a^-1 (mod m） a对模m的数论倒数

  

  性质1  如果a|b，那么(-a)|b,反过来也成立

 性质2  如果a|b,b|c,那么a|c

 性质3  如果a|b,a|c,那么对任意整数x，y都有 a|(bx+cy)

 性质4 设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数

 性质5 素数中有且只有一个偶数2

 贝祖定理 设d=(a,b) 则存在整数x，y 使得  ax+by=d

  若a,b是整数，方程ax+by=d有整数解当且仅(a,b)|d

  性质6 设d为a，b的公因数 则d|(a,b)

  性质7 设a|c,b|c 且 (a,b)=1 则 ab|c

  性质8 设p为素数，p|ab,则p|a或p|b

  性质9 设a,b都是正整数 则[a,b]*(a,b)=ab

  记F[n]为斐波那契数列第n项 有 (F[a],F[b])=F[(a,b)]

  算数基本定理 

   又称质因数分解  code:

// 质因数分解 O（√）
int facorize(int x, int* p) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
        while (x % i == 0) {
            p[cnt++] = i;
            x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) p[cnt++] = x;   //如果x>1,则说明剩下的x是素数，也要放进数组
    return cnt;
}

 拓展欧几里得算法

  

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    int g = exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return g;
}

   

性质10  

如果a1≡ b1 (mod m)

        a2≡ b2 (mod m)

 那么 a1±a2 ≡ b1± b2 (mod m)

         a1a2   ≡  b1b2  (mod m)

 性质11 a≡b (mod m) 的充要条件是 m|a-b

 性质12 若a≡b（mod m） ，n为正整数，则aⁿ≡bⁿ (mod m)

 Fermat小定理 设p为素数，a为整数，则a^p≡a(mod p). 特别地，若p∤a,则a^p-1≡1(mod p)

 欧拉函数  

  1~n中所有数的欧拉phi函数值   O(nloglongn)

  

void phi_table(int n, int* phi) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) if (!phi[i])
        for (int j = i; j <= n; j += i) {
            if (!phi[j]) phi[j] = j;
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
        }
}

求单个数的欧拉函数  0（√n）

int euler_phi(int n) {
    int m = int(sqrt(n + 0.5));
    int ans = n;
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

线性求逆元  0（n）

对于求一连串数字对于p的逆元，只能用这种方法，别的方法都比这个慢

int inv[105];

void inver(int p) {
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < p; i++) {
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
    }
}

 当p为素数，且ap互质时可以用快速幂求逆元

x=QuickPower(a,p-2,p);

 当p不为素数时，可以用拓展欧几里得算法求逆元

int main() {
    ll x, y;
    exgcd(a, p, x, y);
    x = (x % p + p) % p; //x是 a 在mod p下的逆元
    return 0;
}