[ZJOI2010]Perm

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题目

称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

INPUT

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

OUTPUT

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,?, ???的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

SAMPLE

INPUT

20 23

OUTPUT

16

解题报告

这竟然是一道树规= =

其实想明白之后挺简单的

我们考虑一颗满二叉树，一个节点$i$如果有左儿子，那么它的左儿子编号一定为$i imes 2$，如果它有右儿子，那么它的右儿子编号一定为$i imes 2+1$

再回来看这道题，假如我们建一颗满二叉树，那么问题不就转化成所有儿子的权值都比父亲的权值大的方案数么？

设$f[size[i]]$代表编号为$i$的节点的方案数

我们要取出$i-1$个（把自己去掉）比它大的数，一部分放在左子树，一部分放在右子树，且当左子树确定了取出哪些数时，右子树所取出的数也是一定的

故我们可以推出状态转移方程：

$$f[size[i]]=C_{size[i]-1}^{size[i<<1]} imes f[size[i<<1]] imes f[size[i<<1|1]]$$

然后实现即可

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long L;
L n,p;
L fac[1000005];
inline L po(L x,L hm){
    L ret(1);
    while(hm){
        if(hm&1)
            ret=ret*x%p;
        x=x*x%p;
        hm>>=1;
    }
    return ret;
}
inline L C(int n,int m){
    return fac[n]*po(fac[m],p-2)%p*po(fac[n-m],p-2)%p;
}
struct edge{
    int e;
    edge *n;
}a[1000005],*pre[1000005];
int tot;
inline void insert(int s,int e){
    a[++tot].e=e;
    a[tot].n=pre[s];
    pre[s]=&a[tot];
}
int size[2000005];
inline void get_size(int u){
    size[u]=1;
    for(edge *i=pre[u];i;i=i->n){
        int e(i->e);
        if(!size[e]){
            get_size(e);
            size[u]+=size[e];
        }
    }
}
L f[2000005];
inline void dfs(int u){
    if(u>n){
//      size[u]=0;
//      f[0]=1;
        return;
    }
//  cout<<u<<endl;
//  size[u]=1;
    dfs(u<<1);
//  size[u]+=size[u<<1];
    dfs(u<<1|1);
//  size[u]+=size[u<<1|1];
    f[size[u]]=C(size[u]-1,size[u<<1])*f[size[u<<1]]%p*f[size[u<<1|1]]%p;
}
inline int gg(){
//  freopen("permzj.in","r",stdin);
//  freopen("permzj.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        L tmp(i);
        while(tmp%p==0)
            tmp/=p;
        fac[i]=fac[i-1]*tmp%p;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if((i<<1)>n)
            break;
        insert(i,i<<1);
        if((i<<1|1)>n)
            break;
        insert(i,i<<1|1);
    }
    get_size(1);
    f[0]=f[1]=1;
    dfs(1);
    printf("%lld",f[n]%p);
//  for(int i=1;i<=n;++i)
//      cout<<"i="<<i<<" size[i]="<<size[i]<<endl;
    return 0;
}
int K(gg());
int main(){;}