• 排队


    题目描述

    某中学有 n 名男同学,m 名女同学和两名老师要排队参加体检。他们排成一条直线,并且任意两名女同学不能相邻,两名老师也不能相邻,那么一共有多少种排法呢?(注意:任意两个人都是不同的)

    输入格式

    只有一行且为用空格隔开的两个非负整数 n 和 m,其含义如上所述。
    对于 30%的数据 n≤100,m≤100
    对于 100%的数据 n≤2000,m≤2000

    输出格式

    输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数,表示不同的排法个数。注意答案可能很大。

    样例

    样例输入

    1 1

    样例输出

     12

    正经高精组合数学题。

    任意两个人都不同,所以要求排列。A(n,m)=n!/(n-m)!

    来推一波柿子:

    先将男生全排列,再将2个老师插进n+1个空里。A(n,n)*A(n+1,2)

    再将女生插入此时的n+3个空中,A(n+3,m)

    以上A(n,n)*A(n+1,2)*A(n+3,m)好像没什么问题,然后你手模下样例会发现事情并不是那么简单

    其实以上并没有考虑到老师只由女生隔开的情况

    既然如此就先将TGT的形态捆绑,对于捆绑中的G有A(m,1),T有A(2,2),则捆绑整体A(m,1)*A(2,2)

    因为捆绑只有一个,所以可以将其视为男生并全排列,A(n+1,n+1)

    接下来还剩下m-1个女生,插入目前的n+2个空中。A(n+2,m-1)

    A(m,1)*A(2,2)*A(n+1,n+1)*A(n+2,m-1)

    以上两个事件互斥,加法原理即可

    即  A(n,n)*A(n+1,2)*A(n+3,m)+A(m,1)*A(2,2)*A(n+1,n+1)*A(n+2,m-1)

    然后就是高精,不要用A(n,m)=n!/(n-m)!,高精除恶心死。

    化简下柿子: n*(n+1)*n!*(n+3)!/(n-m+3)!+2*m*(n+1)!*(n+2)!/(n-m+3)!

    对于(n+3)!/(n-m+3)!之类只要求从(n-m+4)到(n+3)的累乘

    来个百亿进制低精乘高精,每次乘高精数最多增加一位,所以只用多加一位。

    PS小技巧:printf("%0xd",a);  可以对a不足x位的部分补零。

     1 #include<cstdio>
     2 #include<iostream>
     3 #include<cmath>
     4 #include<cstring>
     5 #define ll long long
     6 #define base 10000000000
     7 #define reg register
     8 #define F(i,a,b) for(i=a;i<=b;++i)
     9 using namespace std;
    10 ll c[100005],a[100005],b[100005];
    11 void dcheng(ll a[],int n)
    12 {
    13     reg int i; reg ll x=0; a[0]=a[0]+1;
    14     F(i,1,a[0])
    15     {
    16         a[i]=a[i]*n+x;
    17         x=a[i]/base;
    18         a[i]%=base;
    19     }
    20 }
    21 void add(ll a[],ll b[],ll c[])
    22 {
    23     reg ll x=0; reg int i;
    24     c[0]=max(a[0],b[0]);
    25     F(i,1,c[0])
    26     {
    27         c[i]=a[i]+b[i]+x;
    28         x=c[i]/base;
    29         c[i]%=base;
    30     }
    31     if(x)
    32     {
    33         ++c[0];
    34         c[c[0]]=x;
    35     }
    36     while(c[c[0]]==0&&c[0]>1)--c[0];
    37 }
    38 int main()
    39 {
    40     a[0]=1; a[1]=1;
    41     b[0]=1; b[1]=1;
    42     int n,m; reg int i;
    43     scanf("%d%d",&n,&m);
    44     F(i,1,n+1) dcheng(a,i);
    45     F(i,n-m+4,n+2) dcheng(a,i);
    46     dcheng(a,2*m);
    47     F(i,1,n) dcheng(b,i);
    48     F(i,n-m+4,n+3) dcheng(b,i);
    49     dcheng(b,n*(n+1));
    50     add(a,b,c);
    51     reg int l;
    52     printf("%lld",c[c[0]]);
    53     for(int i=c[0]-1;i>=1;--i) printf("%010lld",c[i]);
    54     return 0;
    55 }
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