基础树形DP——P1040 加分二叉树

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第ii个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第1行：1个整数n(n<30)，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数<100）。

输出格式

第1行：1个整数，为最高加分（Ans≤4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

解法

这个题目的一个重要条件是你求解的二叉树的中序遍历是（1,2,3...n)。在二叉树的中序遍历中，对于任意一个点i，它前面的数一定都在它的左子树中， 它右边的数可能在它的右子树中（挺显然的吧）。因此中序遍历区间[1,i]一定是以某个(a_j)(j∈[1,i])为根的子树(还算显然吧).

因此我们可以对于每一段区间试着选出一个根,然后算出以它为根的最大值,最后记录答案.

具体来说:

设(f_{i,j})表示以点([i,j])组成一棵二叉树的最大加分,接下来我们来枚举断点k.这个断点事实上代表了树根,即我们令(i)到(k-1)是左子树,(k+1)到(j)是右子树,然后我们递归下去,退回以后更新答案,枚举下一个(k).最终目标:(f_{1,n}).过程中如果记录过答案就直接返回记录的值,也就是应用树形DP常用的做法:记忆化搜索.

代码:

int dfs(int l, int r) {
    if (l > r) return 1;//不合法判断
    if (l == r) {//递归到叶子节点
        root[l][r] = l;//以它自己为根
        return val[l];
    }
    if (maxinum[l][r]) return maxinum[l][r];//记忆化的关键
    int k, ans = -1000000000;
    for (int i = l; i <= r; ++i) {
        int temp = dfs(l, i - 1) * dfs(i + 1, r) + val[i];//枚举了断点,递归下去更新答案
        if (temp > ans) {//更新答案
            ans = temp;
            k = i;
        }
    }
    root[l][r] = k;//记录最合适的根
    maxinum[l][r] = ans;//记录最大答案
    return ans;
}

这样我们就做完了第一问

别忘了,这题还有第二问[允悲]
第二问要求我们输出前序遍历,也就是先输出根,后输出左儿子,后输出右儿子.其实我们在第一问中已经得到了这个问题的答案...左儿子,也就是左子树的根,右儿子,也就是右子树的根.我们选完根,第二问就已经得到答案了.我们只需要从(root_{1,n})开始,先递归(root_{1,root_{1,n}-1})再递归(root_{root_{1,n}+1,n}),然后以此类推就可以了.

可能上面说的有点绕,具体看代码吧:

void findroot(int l, int r) {
    if (l > r) return;
    cout << root[l][r] << " ";
    findroot(l, root[l][r] - 1);
    findroot(root[l][r] + 1, r);
    return;
}

是不是很简短呢?

哦对了,别忘了开long long.