最大公约数与最小公倍数

　　基本知识：

　　定义1　　设a和b是两个整数，如果d|a且d|b，则称d是a与b的公因子。

　　定义2　　设a和b是两个不全为0的整数，称a与b的公因子中最大的为最大公约数，记为gcd(a,b)。

　　定义3　　设a与b是另个非零整数，称a与b的最小的正公倍数为最小公倍数，记为lcm(a,b)。

　　 最大公约数与最小公倍数具有如下一些性质：

　　（1）

　　

　　（2）设m，a，b是正整数，则

　　

　　（3）用素数因子分解法求a与b的最大公约数与最小公倍数：

　　 首先将a，b进行因子分解成：

　　

　 　则有：

　　

 　　基本应用：

　　 欧几里得算法：

　　定义4　　设a=qb+r，其中a,b,q,r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)。

　　代码如下：

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

　　扩展欧几里得算法：

　　定义5　　设a和b不全为0，则存在整数x和y，使得gcd(a,b)=xa+yb。

　　拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公因子时，所需除法次数不会超过两个整数中较小的那个十进制数的倍数的5倍。

　　推论：求两个正整数a,b，a>b的最大公因子需要O(log₂a)^3次的位运算。

　　代码如下：

int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int r=extend_gcd(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
        return r;
    }
}

　　复杂度：O(logN)，其中N和a,b同阶。

　　说明：

　　　　

 

2014-02-27