- 有理数的阿基米德性质
任何有理数(r=dfrac {p} {q}leq |p|)（这里({p})和({q})都是整数并且({q≠0})），因为(r=dfrac {p} {q}leq dfrac {|p|} {|q|}leq dfrac {|p|} {1}=|p|)，可知对于任何有理数(r)，总存在比它大的正整数(n)，即(n>r) ，比如这里可取(n=|p|+1)，这就是有理数的阿基米德性质（Archimedean Property for rational numbers）[1]。如果(r)是任意正有理数，那么(dfrac {1} {r})也是任意正有理数，对前面这个不等式两边取倒数有(dfrac {1} {n}<dfrac {1} {r}) ， 可知对于任何正有理数，总存在正整数(n)使得(dfrac {1} {n})小于它 ，综合这两条性质来看——即没有最大的正有理数也没有最小的正有理数。后面等我们学习到实数的阿基米德性质后，同样会明白没有最大的正实数也没有最小的正实数，进而所谓的“无穷大数”和“无穷小数”也就不存在实数系里了[2]。
- (A={xin mathbb {Q}|x^{2}<2 或 x<0})，A内有最大的有理数吗？
你也许会想到：如果(a)是A内最大的有理数，那么必有一个有理数(a')满足(a<a'<sqrt {2})（根据“任何两个不同实数间必然存在有理数”可得），故而A内没有最大的有理数。但是，这种方法依赖于实数或无理数的存在，假设我们仅仅只知道有理数，那么还能回答这个问题吗？能！用有理数的阿基米德性质就能解决这个问题，该问的解决对于我们后面以有理数为基础通过Dedekind Cut来构建数的连续体至关重要。
假设(a)是A内最大的有理数，只要选定足够大的正整数(n)就可以让(a+dfrac {1} {n})变得比(a)稍大一点点，那么我们很自然就会想：是不是存在正整数(n)使得(left(a +dfrac {1} {n} ight) ^{2} < 2)呢？若存在，那么我们便说明了A内有比(a)更大的有理数(a +dfrac {1} {n})，从而说明A内无最大的有理数，下面是证明过程。
证明：假设A内有最大的有理数(a)，那么(a)必然是正有理数且(a^{2}<2) 。如果证明存在正整数(n)使得(left(a +dfrac {1} {n} ight) ^{2} < 2)，便可得出A内有比(a)更大的有理数(a +dfrac {1} {n})，从而说明A内无最大的有理数。
(left(a +dfrac {1} {n} ight) ^{2}=a^{2}+dfrac {2a} {n}+dfrac {1} {n^{2}}<a^{2}+dfrac {2a} {n}+dfrac {1} {n} =a^{2}+dfrac {1} {n}(2a+1))，如果能证明存在正整数(n)使得(a^{2}+dfrac {1} {n}(2a+1)<2)，那么(left(a +dfrac {1} {n} ight) ^{2} < 2)自然得证。对(a^{2}+dfrac {1} {n}(2a+1)<2)稍作变形可得(dfrac {1} {n}<dfrac {2-a^{2}}{2a+1}) ，现在问题变成了是否存在正整数(n)使得(dfrac {1} {n}<dfrac {2-a^{2}}{2a+1}) ，因为(a)是正有理数且(a^{2}<2)，所以(dfrac {2-a^{2}}{2a+1})是正有理数，由“对于任何正有理数，总存在正整数(n)使得(dfrac {1} {n})小于它”知存在这样的正整数(n)，也就存在正整数(n)使得(left(a +dfrac {1} {n} ight) ^{2} < 2)，所以A内无最大的有理数。
用类似的方法也可以证明({xin mathbb {Q}|x^{2}>2且x>0})内无最小的有理数[3]。下一节我将以这两个问题为例介绍数的连续体的构建，请继续关注！