数位dp整理

数位dp的思想就在于递归，记录当前的某一个唯一状态，依次递归下去，要注意唯一。

数位dp常设的状态有当前位置，上一数字，是否具有前导零，是否有限制。

1.CodeForces 55DBeautiful numbers

题目大意：一个数是幸运数当且仅当这个数能整除所有位数，求[a,b]有多少幸运数

10以内的数的最小公倍数是2520，状态为当前位置，模2520的值，出现了哪些数字（状压，1，0删去）

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxa = 20;
const int mod = 2520;
long long  dp[maxa][1<<8][mod];
#define LL long long
//当前位置，限制，有哪些数，模
int num[maxa];
LL dfs(int pos, int limit, int val, int numb){
    if(pos == 0){
        for(int i = 2; i < 10; i++){
            if((1<<(i-2)) & val){
                if(numb % i) return 0;
            }
        }return 1;
    }
    if(!limit && dp[pos][val][numb] != -1) return dp[pos][val][numb];
    int nn = limit?num[pos]:9;
    LL res = 0;
    for(int i = 0; i <= nn; i++){
        res += dfs(pos-1, limit & (i ==nn), i<2?val:val|(1<<(i-2)), (numb*10+i)%mod);
    }
    if(!limit) dp[pos][val][numb] = res;
    return res;
}
LL ANS(LL n){
    int leng = 0;
    while(n){
        num[++leng] = n %10;
        n /= 10;
    }
    return dfs(leng, 1, 0, 0);
}
int main(){
    int t;
    LL a, b;
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        cin>>a>>b;
        if(a > b)swap(a, b);
        cout<<ANS(b) - ANS(a-1)<<endl;
    }
}

 2.HDU 4352

题目大意，求最长上升序列为k的数在[a,b]出现了多少次，

lis的log时间的思想是换掉长度和当前数字一样并且大于当前的数字的数，用的是对列维护的

在这里我们可以这样比如当前最长是1346这个队列，当前数字是2，就能用2区替换3，因为到2的最长序列和3是一样的并且2还比三小，队列就变成了1246

状态是位数，序列（状压掉），K（是为了以后出现K省时间

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxa = 20;
LL dp[maxa][1<<10][11];
int num[maxa];
int Next[1<<10][10];
int Hash[1<<10];
int K;
int go(int now, int k){
    int kk = -1;
    for(int i = k; i < 10; i ++){
       if((1<<i) & now){
          kk = i;
         break;
       }
    }
    if(kk == -1){
        return now|(1<<k);
    }
    now ^= (1<<kk);
    now |= (1<<k);
    return now;
}
void init(){
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    for(int i = 0; i < (1<<10); i++){
        for(int k = 0; k < 10; k++){
            if(i&(1<<k))
                Hash[i] ++;
        }
    }
    for(int i = 0; i < (1<<10); i++){
        for(int k = 0; k < 10; k++){
            Next[i][k] = go(i, k);
        }
    }
}
LL dfs(int pos, int mask, int isZero, int limit){//printf("%d %d %d %d
", pos, mask, isZero, limit);
    if(pos ==0){//printf("%d %d
", Hash[mask], K == mask);
        return Hash[mask] == K;
    }
    if(!limit && -1!=dp[pos][mask][K])
        return dp[pos][mask][K];

    int nn = limit?num[pos]:9;
    LL res = 0;
    for(int i = 0; i <= nn; i++){
        res += dfs(pos-1,( isZero && (i ==0))? mask:Next[mask][i],isZero&(i==0), limit &(i ==nn));
    }
    if(!limit){
        dp[pos][mask][K] = res;
    }
    return res;
}
LL ANS(LL n){
    int leng = 0;
    while(n){
        num[++leng] = n%10;
        n/= 10;
    }
    return dfs(leng, 0, 1, 1);
}
int main(){
    init();
    int t;
    int Case = 1;
    LL a, b;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        cin>>a>>b>>K;
        cout <<"Case #"<<Case++<<": "<<ANS(b) - ANS(a-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

3.HDU 2089

题意：求[a,b]有多少数字里有62或含有4

状态，位数，到当前为满足或不满足

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int maxa = 10;
int dp[maxa][maxa][2];
int num[maxa];
int dfs(int pos, int limit, int ye, int last){
    if(pos == 0){
        return ye;
    }
    if(!limit && -1 != dp[pos][last][ye])
        return dp[pos][last][ye];
    int nn = limit ? num[pos]:9;
    int res = 0;
    for(int i = 0; i <= nn; i++){
        res += dfs(pos-1, limit & (i==nn),i == 4 | ye | (last == 6&& i ==2), i);
    }
    if(!limit){
        dp[pos][last][ye] = res;
    }
    return res;
}
int ans(int a){
    int leng = 0;
    while(a){
        num[++leng] = a%10;
        a /=10;
    }
    return dfs(leng, 1, 0, 0);
}
int main(){
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    int a, b;
    while(scanf("%d%d", &a, &b), a+b){
        cout<<b-a+1-(ans(b) - ans(a-1))<<endl;
    }
    return 0;
}

4.HDU 3555

和3思路一模一样

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const long long maxa = 20;
long long dp[maxa][maxa][2];
long long num[maxa];
long long dfs(long long pos, long long limit, long long ye, long long last){
    if(pos == 0){
        return ye;
    }
    if(!limit && -1 != dp[pos][last][ye])
        return dp[pos][last][ye];
    long long nn = limit ? num[pos]:9;
    long long res = 0;
    for(long long i = 0; i <= nn; i++){
        res += dfs(pos-1, limit & (i==nn),ye | (last == 4&& i ==9), i);
    }
    if(!limit){
        dp[pos][last][ye] = res;
    }
    return res;
}
long long ans(long long a){
    long long leng = 0;
    while(a){
        num[++leng] = a%10;
        a /=10;
    }
    return dfs(leng, 1, 0, 0);
}
int main(){
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    long long a, b, t;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>a;
        cout<<ans(a)<<endl;
    }
    return 0;
}

5.POJ 3252

题目大意：求[a,b]有多少数字二进制0的个数>=1的个数

注意前导零

状态：位数，0比1多的个数，是否有前导零。

#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxa = 100;
int dp[maxa][2*maxa][2];
int num[maxa];
int dfs(int pos, int limit, int re, int isZero){
    //printf("%d %d %d %d
", pos, limit, re, isZero);
    if(pos == 0){//printf("%d
", (re >= 50));
        return (re >= 50);
    }
    if(!limit && dp[pos][re][isZero] != -1){
        //printf("%d %d %d %d %d
", pos, limit, re, isZero, dp[pos][re]);
        return dp[pos][re][isZero];
    }
    int nn = limit ? num[pos]:1;
    int res = 0;
    for(int i = 0;i <= nn ; i++){
       res += dfs(pos-1, limit &(i ==nn), (isZero && i==0)?re:(i==0?re+1:re-1), isZero && (i==0));
    }
    if(!limit)
        dp[pos][re][isZero] = res;
    return res;
}
int ans(int n){
    int leng = 0;
    while(n){
        num[++leng] = n %2;
        n /= 2;
    }
    return dfs(leng, 1, 50, 1);
}
int main(){

    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    int a, b;
    //printf("%d
", ans(12));
    while(scanf("%d%d", &a, &b)!=EOF){
        //printf("%d %d
", ans(b), ans(a-1));
        printf("%d
",ans(b) - ans(a-1));
    }
    return 0;
}

6.HDU 3709
题目大意：一个数十平衡数的条件是将这个数看成是一排砝码，天平的支点在某一个数字上，能使两边是平衡的

hint:4139 is a balanced number with pivot fixed at 3. The torqueses are 4*2 + 1*1 = 9 and 9*1 = 9

问在[a, b]区间有多少数是平衡数.

思路dp[][][]，四维分别是，位置 ,中间支点的位置，左边减去右边的值

需要注意的就是前导零问题，好久没刷数位dp的题被这个卡了半天

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<cmath>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int maxa = 20;
const int maxn = 2000;
long long dp[maxa][10][maxa][maxn];
//位置，当前位置的数字,中间支点的位置，左边减去右边的值
int N[maxa];
long long dfs(int len, int nn, int point, int num, int limit, int zero){
    if(len == -1){
        return num == 0 && zero == 0;
    }
    if(num < 0)return 0;
    if(!zero && !limit && dp[len][nn][point][num]!= -1){//printf("+");
        return dp[len][nn][point][num];
    }
    int l = limit?N[len]:9;
    long long sum = 0;
    for(int i = 0; i <= l; i++){//printf("+");
        sum += dfs(len-1, i, point, (len - point) * i+num, limit && (i == l), zero && (i==0));
    }
    if(!limit && !zero) dp[len][nn][point][num] = sum;
    return sum;
}
long long ans(long long n){
    if(n < 0)return 0;
    int o = 0;
    while(n){
        N[o++] = n%10;
        n /= 10;
    }
    long long sum = 0;
    for(int i = 0;i < o; i++){
        sum += dfs(o-1, 0, i, 0, 1, 1);
    }
    sum ++;
    return sum;
}
int main(){
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    //cout<<ans((long long)(9))<<endl;return 0;
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        long long a, b;
        cin>>a>>b;
        //cout<<ans(b)<<endl;
        cout<<ans(b) - ans(a-1)<<endl;
    }
}

 7.HDU 3652

题目大意：一个数是lala数时，这个数作为字符串里面含有13，并且这个数能被13整除

思路：
int dp[maxa][2][2][13];
//位置，上一个数是否是1，是否之前已经凑齐13，当前模13的值

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxa = 12;
int dp[maxa][2][2][13];
//位置，上一个数是否是1，是否之前已经凑齐13，当前模13的值
int nn[maxa];
int dfs(int pos, bool one, bool lala, int num, bool limit){
    if(pos == -1){
        return lala == 1 && num == 0;
    }
    if(!limit && dp[pos][one][lala][num] != -1)return dp[pos][one][lala][num];
    int l = limit ? nn[pos]: 9;
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i <= l; i++){
        sum += dfs(pos-1, i == 1, lala || (one && i == 3), (int(num + i*pow(10, pos)))% 13, limit && i == l);
    }
    if(!limit){
        dp[pos][one][lala][num] = sum;
    }
    return sum;
}
int ans(int n){
    int o = 0;
    while(n){
        nn[o++] = n%10;
        n /= 10;
    }
    return dfs(o-1, 0, 0, 0, 1);
}
int main(){
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    int n;
    while(scanf("%d", &n)!=EOF){
        printf("%d
", ans(n));
    }
}