图算法--旅行商问题

旅行商问题的描述

试想一下，一个业务员因工作需要必须访问多个城市。他的目标是每个城市只访问一次，并且尽可能地缩短旅行的距离，最终返回到他开始旅行的地点，这就是旅行商问题的主要思想。

在一幅图中，访问每个顶点一次，并最终返回起始顶点，这个访问的轨迹称为哈密顿圈。要解决旅行商问题，需要用图G=（V，E）作为模型，寻找图中最短的哈密顿圈。G是一个完整的、无方向的带权图，其中V代表将要访问的顶点的集合，E为连接这些顶点的边的集合。E中每条边的权值由顶点之间的距离决定。由于G中一个完整的、无方向的图，因此E包含V（V-1）/2条边。

事实上，旅行商问题是一种特殊的非多项式时间问题，称为NP完全问题。NP完全问题是指那些多项式时间算法未知，倘没有证据证明没有解决的可能性的问题。考虑到这种思想，通常用一种近似算法来解决旅行商问题。

最近邻点法的应用

 一种近似的计算旅行商路线的方法就是使用最近邻点法。

其运算过程如下：从一条仅包含起始顶点的路线开始，将此顶点涂黑。其他顶点为白色，在将其他顶点加入此路线中后，再将相应顶点涂黑。接着，对于每个不在路线中的顶点v，要为最后加入路线的顶点u与v之间的边计算权值。在旅行商问题中，u与v之间边的权值就是u到v之间的距离。这个距离可以用每个顶点的坐标计算得到。两个点（x1，y1）与（x2，y2）之间距离的计算公式如下：

r = √（x₂ - x₁）² + （y₂ - y₁）²  （注意是求和的平方根）

利用这个公式，选择最接近u的顶点，将其涂黑，同时将其加入路线中。接着重复这个过程，直到所有的顶点都涂成黑色。此时再将起始顶点加入路线中，从而形成一个完整的回路。

下图展示了使用最近邻点法来解决旅行商问题的方法。通常，在为旅行商问题构造一个图时，每个顶点之间相连的边不会显示表示出来，因为这种表示会让图不清晰了，也没有必要。在图中，每个顶点旁边都显示其坐标值，虚线表示在此阶段需要比较距离的边。颜色最深的是要加入路线中的边。通过最近邻点法获取的路线长度为15.95。而最优路线的长度为14.71，比最近邻点法得到的长度少8%。

最近邻点法有一些有趣的特性，它类似广度优先搜索算法，因为在往图更深一层探寻之前，它需要扫描与路线中最后顶点相邻的所有顶点。它还应用了贪心算法，因为每次它将一个顶点加入路线时，它都选择当前最优的顶点。遗憾的是，在一个结点加入当前最邻近的点可能会给接下来的路线带来负面影响。然而，它通常会返回一条2倍于最优路线的路线，但在许多情况下，结果会比这要好。当计算路线时，改善算法的方法是存在的，一种改善的方法就是使用交互式启发法（在此不再展开）。

旅行商问题的接口定义

tsp

---

int tsp (List *vertices,const TspVertex *start, List *tour, int (*match)(const void *key1, const void key2))

返回值：如果计算近似旅行商路线成功，返回0；否则，返回-1。

描述：为存储在vertices中的顶点计算一条近似旅行商的路线。路线的起始点为start指定的顶点。此操作会改变vertices，所以如果有必要，在调用此操作之前需要先备份vertices。

vertices中每个元素都必须是TspVertex类型。用TspVertex结构体的成员data来保存与顶点相关的数据，例如顶点标识符。用其成员x和y来指定顶点的坐标。match函数判断两个顶点是否匹配，它仅用来比较TspVertex结构体的data成员。计算得到的路线存储在tour中，tour是TspVertex结构体列表。tour中保存的顶点会按照路线中顶点的顺序排放。tour中元素指向vertices中实际的顶点，所以只要能够访问tour，函数调用者就必须保证vertices的内存空间有效。如果不再使用tour，那么可以调用list_destroy来销毁tour。

复杂度：O(V²)，其中V是路线中要访问的顶点的个数。

旅行商问题的实现与分析

 解决旅行商问题，首先从一个由顶点列表表示的图开始。用这种方式表示的图，其每条边都是隐式的。列表中的每个顶点都是一个TspVertex结构体。此结构体包含4个成员：data用来保存顶点有送的数据；x和y表示顶点的坐标；color为顶点的色值。

tsp操作首先将所有的顶点涂成白色（除起始顶点外，起始顶点会涂黑），且立刻加入线路中。同时，记录起始顶点的坐标值，这样在主循环的首次迭代过程中，就可以计算起始顶点与其他顶点之间的距离。在主循环中，将所有剩余顶点加入路线中。在每次迭代过程中，寻找离最后加入的顶点最近的白色顶点。每次加入一个顶点，就为下次迭代记录它的坐标，同时将其涂成黑色。在循环结束后，再次将起始顶点加入路线中，以形成一条闭合路径。

tsp的时间复杂度是O（V²），其中V是路径中要访问的顶点个数。这是因为，对于主循环中每V-1次迭代，都需要搜索颜色为白色而且需要为其计算距离的顶点。注意O（V²）的复杂度对于计算一条最优路径的复杂度O（V！）来说已经是很大的改进了。

头文件：旅行商问题头文件

/*graphalg.h*/
#ifndef GRAPHALG_H
#define GRAPHALG_H

#include "graph.h"
#include "list.h"
/*定义旅行商问题中结点的数据结构*/
typedef struct TspVertex_
{
    void    *data;
    
    double  x,y;
    
    VertexColor  color;
}TspVertex;

/*函数接口*/
int tsp(List *vertexs, const TspVertex *start, List *tour, int (match*)(const void *key1, const void *key2));

#endif // GRAPHALG_H

 示例16-5： 解决旅行商问题的实现

/*tsp.c*/
#include <float.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>

#include "graph.h"
#include "graphalg.h"
#include "list.h"

int tsp(List *vertices, const TspVertex *start, List *tour, int (*match)(const void *key1, const void *key2))
{
    TspVertex  *tsp_vertex,
               *tsp_start,
               *selection;
    ListElmt   *element;
    double     minimum,
               distance,
               x,
               y;
    int        found,
               i;

    /*初始化列表tour(存储计算得到的路线)*/
    list_init(tour,NULL);

    /*初始化图中的所有顶点*/
    found = 0;

    for(element = list_head(vertices); element != NULL; element = list_next(element))
    {
        tsp_vertex = list_data(element);
        if(match(tsp_vertex,start))
        {
            /*将起始顶点加入到路线列表中*/
            if(list_ins_next(tour,list_tail(tour),tsp_vertex) != 0)
            {
                list_destroy(tour);
                return -1;
            }

            /*保存起始顶点以及它的坐标值*/
            tsp_start = tsp_vertex;
            x = tsp_vertex->x;
            y = tsp_vertex->y;

            /*将起始顶点涂成黑色*/
            tsp_vertex->color = black;
            found = 1;
        }
        else
        {
            /*除此之外的其他顶点都涂成白色*/
            tsp_vertex->color = white;
        }
    }
/*如果没有找到起始顶点，程序返回*/
if(!found)
{
    list_destroy(tour);
    return -1;
}

/*使用最近邻点法计算路线*/
while(i < list_size(vertices)-1)
{
    /*从白色顶点中选择离当前顶点最近的顶点*/
    minmum = DBL_MAX;
    
    for(element = list_head(vertices); element != NULL; element = list_next(element))
    {
        tsp_vertex = list_data(element);
        if(tsp_vertex->color == white)
        {
            distance = sqrt(pow(tsp_vertex->x-x,2.0) + pow(tsp_vertex->y-y, 2.0));
            
            if(distance < minimum)
            {
                minimum = distance;
                selection = tsp_vertex;
            }
        }
    }
    /*保存符合要求顶点的坐标*/
    x = selection->x;
    y = selection->y;
    
    /*将被选中的顶点涂成黑色*/
    selection->color = black;
    
    /*将选中顶点插入到路线链表中*/
    if(list_ins_next(tour, list_tail(tour),selection) != 0)
    {
        list_destroy(tour);
        return -1;
    }
    /*准备选取下一个顶点*/
    i++;
}

/*最后再将起始顶点插入到计算路线中，形成闭合路线*/
if(list_ins_next(tour,list_tail(tour),tsp_start) != 0)
{
    list_destroy(tour);
    return -1;
}

return 0;
}