最近学习了LinkCutTree，总结一下。
LinkCutTree是一种数据结构（是Tree Decomposition中的一种），她维护的一般是无向图（一个森林），支持连边、删边、链修改、链查询（点属于特殊的链，修改可以是单点修改、整链修改，查询可以是最值、和等）这四种操作。
中心思想是将边分类，一类边组成一些连续的链，每条链保存在一颗BST中（一般是Splay），BST中以点到根的距离为关键字（左边的点是右边的点的祖先），其它一些边连接这些链。（LinkCutTree是树链剖分（又叫轻重链剖分）的动态版本，并且更灵活），可以证明，LinkCutTree的各种操作都是均摊O(logn)的（渐进复杂度比树链剖分的O(log^2)还好，但是常数巨大，所以实测一般时间是树链剖分的1.5~2倍）。
上面的“链修改、链查询”指的是链上的点，如果要将对象改为边，可以为每条边建立一个边点，即若存在边(u,v)，则新加一个点z代表边，将z连接u和v，z的点权就是(u,v)的边权，非边点的权设为-oo），然后对边权的统计就变成了对点权的统计（这是LCT中处理边信息的通法之一）。
1 #include <cstdio> 2 #include <iostream> 3 #define maxn 10010 4 using namespace std; 5 6 /* 7 我的代码风格：用数组模拟指针和结构体。 8 变量含义： 9 pnt[u] - path-parent of u in the tree 10 pre[u] - the father of u in the Splay 11 son[u][0] - the left child of u in the Splay 12 son[u][1] - the right child of u in the Splay 13 val[u] - the weight of u 14 sum[u] - the sum of weight of all the nodes in the subtree of u 15 siz[u] - the number of the nodes in the subtree of u 16 itg[u] - increasement tag ( the lazy tag ) 17 rtg[u] - rotate tag ( the lazy tag ) 18 */ 19 /* 20 模板功能：支持删边和连边，支持将一条链的点权做一个增量，支持查询一条链的点权和，判断两点是否再同一联通块中 21 因为是自己想的一个功能，所以没有地方交，不保证代码正确性。(重在理解） 22 代码中哪里不懂欢迎回复，代码丑别喷。 23 */ 24 namespace L { 25 int pnt[maxn], pre[maxn], son[maxn][2], val[maxn], 26 sum[maxn], siz[maxn], itg[maxn], rtg[maxn]; 27 28 void update( int nd ) { 29 sum[nd] = val[nd] + sum[son[nd][0]] + sum[son[nd][1]]; 30 } 31 void rotate( int nd, int d ) { 32 int p = pre[nd]; 33 int s = son[nd][!d]; 34 int ss = son[s][d]; 35 36 son[nd][!d] = ss; 37 son[s][d] = nd; 38 if( p ) son[p][ nd==son[p][1] ] = s; 39 else pnt[s] = pnt[nd]; 40 41 pre[nd] = s; 42 pre[s] = p; 43 pre[ss] = nd; 44 45 update( nd ); 46 update( s ); 47 } 48 void pushdown( int nd ) { 49 if( rtg[nd] ) { 50 int &ls = son[nd][0], &rs = son[nd][1]; 51 swap(ls,rs); 52 rtg[ls] ^= 1; 53 rtg[rs] ^= 1; 54 rtg[nd] = 0; 55 } 56 if( itg[nd] ) { 57 int ls = son[nd][0], rs = son[nd][1]; 58 int delta = itg[nd]; 59 itg[ls] += delta; 60 itg[rs] += delta; 61 val[ls] += delta; 62 val[rs] += delta; 63 sum[ls] += siz[ls]*delta; 64 sum[rs] += siz[rs]*delta; 65 itg[nd] = 0; 66 } 67 } 68 void big_push( int nd ) { 69 if( pre[nd] ) big_push(pre[nd]); 70 pushdown(nd); 71 } 72 void splay( int nd, int top=0 ) { 73 big_push(nd); 74 while( pre[nd]!=top ) { 75 int p = pre[nd]; 76 int nl = nd==son[p][0]; 77 if( pre[p]==top ) { 78 rotate( p, nl ); 79 } else { 80 int pp = pre[p]; 81 int pl = p==son[pp][0]; 82 if( nl==pl ) { 83 rotate( pp, pl ); 84 rotate( p, nl ); 85 } else { 86 rotate( p, nl ); 87 rotate( pp, pl ); 88 } 89 } 90 } 91 } 92 void access( int nd ) { 93 int u = nd; 94 int v = 0; 95 while( u ) { 96 splay( u ); 97 int s = son[u][1]; 98 pre[s] = 0; 99 pnt[s] = u; 100 pre[v] = u; 101 son[u][1] = v; 102 update( u ); 103 v = u; 104 u = pnt[u]; 105 } 106 splay( nd ); 107 } 108 int findroot( int nd ) { 109 while( pre[nd] ) nd=pre[nd]; 110 while( pnt[nd] ) { 111 nd = pnt[nd]; 112 while( pre[nd] ) nd=pre[nd]; 113 } 114 return nd; 115 } 116 void makeroot( int nd ) { 117 access( nd ); 118 rtg[nd] ^= 1; 119 } 120 bool sameroot( int u, int v ) { 121 return findroot(u)==findroot(v); 122 } 123 void link( int u, int v ){ 124 makeroot(u); 125 makeroot(v); 126 pnt[u] = v; 127 } 128 void cut( int u, int v ) { 129 makeroot(u); 130 access(v); 131 pnt[u] = 0; 132 pre[u] = 0; 133 son[v][0] = 0; 134 update( v ); 135 } 136 void up_val( int u, int v, int delta ) { 137 makeroot(u); 138 access(v); 139 val[v] += delta; 140 sum[v] += siz[v]*delta; 141 itg[v] += delta; 142 } 143 int qu_sum( int u, int v ) { 144 makeroot(u); 145 access(v); 146 return val[v]+sum[son[v][0]]; 147 } 148 }; 149 /* 150 int main() { 151 L::link(1,2); 152 L::link(2,3); 153 L::link(3,4); 154 L::up_val(1,3,3); 155 L::up_val(2,4,-3); 156 printf( "%d ", L::qu_sum(1,1) ); 157 printf( "%d ", L::qu_sum(2,2) ); 158 printf( "%d ", L::qu_sum(3,3) ); 159 printf( "%d ", L::qu_sum(4,4) ); 160 printf( "%d ", L::qu_sum(2,3) ); 161 } 162 */ 163 int main() { 164 L::link(1,2); 165 L::link(2,3); 166 L::link(3,4); 167 L::up_val( 1, 4, 5 ); 168 L::cut(2,3); 169 printf( "%d ", L::qu_sum(1,2) ); 170 printf( "%d ", L::qu_sum(3,4) ); 171 printf( "%d ", L::sameroot(2,3) ); 172 }
推荐学习资料：
杨思雨 《伸展树的基本操作与应用》
杨哲 《QTREE解法的一些研究》
http://blog.csdn.net/d891320478/article/details/9181385