一些定义:
弦图是一种特殊图:它的所有极小环都只有3个顶点。
单纯点：该顶点与其邻接点在原图中的导出子图是一个完全图。
图G的完美消去序列：一个顶点序列a1a2a3...an,使得对于每个元素ai，ai在ai、ai+1、ai+2...an的导出子图中是一个单纯点。
弦图有一个性质：任何一个弦图都至少存在一个单纯点（该点和其邻接点组成一个完全图）
弦图另一个性质：一个图是弦图当且仅当其存在完美消去序列。（归纳证明）
最大势算法(msc）：若原图是弦图，则该算法计算出的序列是完美消去序列。
算法大致思想：从后往前计算序列，每次选择点v作为序列中的元素，v是还未选的点中与已经选了的点连边最多的点。
然后检查该序列是否是完美消去序列。
请看陈丹琦的ppt：《弦图与区间图》
BZOJ:
1 /************************************************************** 2 Problem: 1242 3 User: idy002 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:544 ms 7 Memory:1816 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 #include <cstdio> 11 #include <cstring> 12 #define N 1010 13 #define M N*N*2 14 15 int n, m; 16 bool c[N][N]; 17 int qu[N], inq[N], dgr[N]; 18 int stk[N], top; 19 20 void msc() { 21 dgr[0] = -1; 22 for( int i=n; i>=1; i-- ) { 23 int s = 0; 24 for( int u=1; u<=n; u++ ) 25 if( !inq[u] && dgr[u]>dgr[s] ) s=u; 26 qu[i] = s; 27 inq[s] = true; 28 for( int u=1; u<=n; u++ ) 29 if( !inq[u] && c[s][u] ) dgr[u]++; 30 } 31 } 32 bool check() { 33 for( int i=n; i>=1; i-- ) { 34 int s=qu[i]; 35 top = 0; 36 for( int j=i+1; j<=n; j++ ) 37 if( c[s][qu[j]] ) stk[++top] = qu[j]; 38 if( top==0 ) continue; 39 for( int j=2; j<=top; j++ ) 40 if( !c[stk[1]][stk[j]] ) return false; 41 } 42 return true; 43 } 44 int main() { 45 scanf( "%d%d", &n, &m ); 46 for( int i=1,u,v; i<=m; i++ ) { 47 scanf( "%d%d", &u, &v ); 48 c[u][v] = c[v][u] = 1; 49 } 50 msc(); 51 printf( "%s ", check() ? "Perfect" : "Imperfect" ); 52 } 53
ZOJ:
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <queue> 4 #include <vector> 5 #define maxn 1010 6 using namespace std; 7 8 int n, m; 9 vector<int> g[maxn]; 10 bool connect[maxn][maxn]; 11 12 int id[maxn]; 13 int label[maxn]; 14 int seq[maxn]; 15 16 struct Stat { 17 int lab, u; 18 Stat( int lab, int u ) : lab(lab), u(u) {} 19 bool operator<( const Stat & b ) const { 20 return lab<b.lab; 21 } 22 }; 23 void mcs() { 24 priority_queue<Stat> pq; 25 memset( label, 0, sizeof(label) ); 26 memset( id, 0, sizeof(id) ); 27 for( int u=1; u<=n; u++ ) pq.push(Stat(0,u)); 28 29 for( int i=n; i>=1; i-- ) { 30 while( id[pq.top().u] ) pq.pop(); 31 int u = pq.top().u; 32 pq.pop(); 33 id[u] = i; 34 for( int t=0; t<g[u].size(); t++ ) { 35 int v = g[u][t]; 36 if( !id[v] ) { 37 label[v]++; 38 pq.push( Stat(label[v],v) ); 39 } 40 } 41 } 42 for( int u=1; u<=n; u++ ) 43 seq[id[u]] = u; 44 } 45 46 bool check() { 47 vector<int> c; 48 for( int i=1; i<=n; i++ ) { 49 int u = seq[i]; 50 c.clear(); 51 for( int t=0; t<g[u].size(); t++ ) { 52 int v = g[u][t]; 53 if( id[v]>id[u] ) 54 c.push_back(v); 55 } 56 if( c.empty() ) continue; 57 int sc = c[0]; 58 for( int t=1; t<c.size(); t++ ) 59 if( id[c[t]]<id[sc] ) sc=c[t]; 60 for( int t=0; t<c.size(); t++ ) { 61 int v = c[t]; 62 if( v==sc ) continue; 63 if( !connect[sc][v] ) return false; 64 } 65 } 66 return true; 67 } 68 void init( int n ) { 69 memset( connect, false, sizeof(connect) ); 70 for( int u=1; u<=n; u++ ) g[u].clear(); 71 } 72 int main() { 73 while(1) { 74 scanf( "%d%d", &n, &m ); 75 if( n==0 && m==0 ) return 0; 76 init(n); 77 for( int i=1,u,v; i<=m; i++ ) { 78 scanf( "%d%d", &u, &v ); 79 connect[u][v] = connect[v][u] = true; 80 g[u].push_back(v); 81 g[v].push_back(u); 82 } 83 mcs(); 84 printf( "%s ", check() ? "Perfect" : "Imperfect" ); 85 } 86 }
暴力:每次找单纯点,删掉,再找,如果能删完就说明是.
O(n^4*...)
1 #include <cstdio> 2 #include <vector> 3 #include <set> 4 #define N 110 5 #define foreach(it,s) for( typeof(s.begin()) it=s.begin(); it!=s.end(); it++ ) 6 using namespace std; 7 8 int n, m; 9 set<int> s; 10 set<int> g[N]; 11 12 bool find_erase() { 13 foreach( u, s ) { 14 vector<int> vc; 15 foreach( v, g[*u] ) 16 vc.push_back(*v); 17 bool ok = true; 18 for( int a=0; a<vc.size() && ok; a++ ) 19 for( int b=a+1; b<vc.size() && ok; b++ ) 20 if( g[vc[a]].count(vc[b])==0 ) 21 ok = false; 22 if( ok ) { 23 s.erase(*u); 24 for( int t=0; t<g[*u].size(); t++ ) 25 g[vc[t]].erase(*u); 26 return true; 27 } 28 } 29 return false; 30 } 31 int main() { 32 scanf( "%d%d", &n, &m ); 33 for( int i=1; i<=n; i++ ) 34 s.insert(i); 35 for( int i=1,u,v; i<=m; i++ ) { 36 scanf( "%d%d", &u, &v ); 37 if( g[u].count(v) ) continue; 38 g[u].insert(v); 39 g[v].insert(u); 40 } 41 for( int t=1; t<=n; t++ ) { 42 if( !find_erase() ) { 43 printf( "Imperfect " ); 44 return 0; 45 } 46 } 47 printf( "Perfect " ); 48 }