离散数学课后作业

离散数学及其应用，第六版

P13，

28，A说：“我们之间至少有一个流氓”，B什么都没说

设P=A是武士，Q=B是武士，!P=A是流氓，!Q=B是流氓

假设A是武士，那么“我们之间至少有一个流氓”为真，即：P->(!P|!Q)

假设A是流氓，那么“我们之间至少有一个流氓”为假，即：!P->!(!P|!Q)

构建真值表

P	Q	P->(!P|!Q)	!P->!(!P|!Q)
1	1	1->(0|0)=0	0->!(0|0)=0->1=1
1	0	1->(0|1)=1	0->!(0|1)=0->0=1
0	1	0->(1|0)=1	1->!(1|0)=1->0=0
0	0	0->(1|1)=1	1->!(1|1)=1->0=0

 

 

 

只有P=1，Q=0的情况下成立，因此A是武士，Q是流氓

29，A说：“我是流氓或者B是武士”，B什么都没说

设P=A是武士，Q=B是武士，!P=A是流氓，!Q=B是流氓

假设A是武士，那么“我是流氓或者B是武士”为真，即：P->(!P|Q)

假设A是流氓，那么“我是流氓或者B是武士”为假，即：!P->!(!P|Q)

构建真值表

P	Q	P->(!P|Q)	!P->!(!P|Q)
1	1	1->(0|1)=1	0->!(0|1)=0->!1=1
1	0	1->(0|0)=0	0->!(0|0)=0->!0=1
0	1	0->(1|1)=1	1->!(1|1)=1->!1=0
0	0	0->(1|0)=1	1->!(1|0)=1->!1=0

 

 

 

 

 

只有P=1，Q=1成立，因此A和B都是武士

 

30，A说“我们都是流氓”，B什么都没说

设P=A是武士，Q=B是武士，!P=A是流氓，!Q=B是流氓

假设A是武士，那么“我们都是流氓”为真，即：P->(!P&!Q)

假设A是流氓，那么“我们都是流氓”为假，即：!P->!(!P&!Q)

构建真值表

P	Q	P->(!P&!Q)	!P->!(!P&!Q)
1	1	1->(0&0)=0	0->!(0&0)=0->!0=1
1	0	1->(0&1)=0	0->!(0&1)=0->!0=1
0	1	0->(1&0)=1	1->!(1&0)=1->!0=1
0	0	0->(1&1)=1	1->!(1&1)=1->!1=0

 

 

 

 

 

只有P=0，Q=1成立，因此A是流氓，B是武士

 

31，相对薪水问题

设

P=傅雷德的薪水是三人中最高的，注意这个设定跟原题描述中的第一个命题相反，原题描述为“如果傅雷德的薪水不是三人中最高的”

Q=杰尼斯的最高

R=杰尼斯的薪水不是最低的

S=麦吉的最高

可以列出各命题之间的关系

如果傅雷德的薪水不是三人中最高的，那么杰尼斯的最高，可知!P->Q

如果杰尼斯的薪水不是最低的，那么麦吉的最高的最高，可知R->S

薪水最高的只有一个人，因此命题P，Q，S这三个条件只有一个为真，即(P&!Q&!S)|(!P&Q&!S)|(!P&!Q&S)

另外还有Q->R

列出真值表，只有P=1，Q=0，R=0，S=0成立，因此三人薪水从高到低分别是傅雷德，麦吉，杰尼斯

P	Q	R	S	!P->Q	Q->R	R->S	(P&!Q&!S)|(!P&Q&!S)|(!P&!Q&S)
1	1	1	1	0->1	1->1	1->1	(1&0&0)|(0&1&0)|(0&0&1)=0|0|0=0
1	1	1	0	0->1	1->1	1->0	(1&0&1)|(0&1&1)|(0&0&0)=0|0|0=0
1	1	0	1	0->1	1->0	0->1	(1&0&0)|(0&1&0)|(0&0&1)=0|0|0=0
1	1	0	0	0->1	1->0	0->0	(1&0&1)|(0&1&1)|(0&0&0)=0|0|0=0
1	0	1	1	0->0	0->1	1->1	(1&1&0)|(0&0&0)|(0&1&1)=0|0|0=0
1	0	1	0	0->0	0->1	1->0	(1&1&1)|(0&0&1)|(0&1&0)=1|0|0=1
1	0	0	1	0->0	0->0	0->1	(1&1&0)|(0&0&0)|(0&1&1)=0|0|0=0
1	0	0	0	0->0	0->0	0->0	(1&1&1)|(0&0&1)|(0&1&0)=1|0|0=1
0	1	1	1	1->1	1->1	1->1	(0&0&0)|(1&1&0)|(1&0&1)=0|0|0=0
0	1	1	0	1->1	1->1	1->0	(0&0&1)|(1&1&1)|(1&0&0)=0|1|0=1
0	1	0	1	1->1	1->0	0->1	(0&0&0)|(1&1&0)|(1&0&1)=0|0|0=0
0	1	0	0	1->1	1->0	0->0	(0&0&1)|(1&1&1)|(1&0&0)=0|1|0=1
0	0	1	1	1->0	0->1	1->1	(0&1&0)|(1&0&0)|(1&1&1)=0|0|1=1
0	0	1	0	1->0	0->1	1->0	(0&1&1)|(1&0&1)|(1&1&0)=0|0|0=0
0	0	0	1	1->0	0->0	0->1	(0&1&0)|(1&0&0)|(1&1&1)=0|0|1=1
0	0	0	0	1->0	0->0	0->0	(0&1&1)|(1&0&1)|(1&1&0)=0|0|0=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33，证人调查问题

设P=男管家说真话，Q=厨师说真话，R=园丁说真话，S=杂役说真话

各种关系如下

如果男管家说的是真话，那么厨师说的也是真话，即P->Q

厨师和园丁说的不可能都是真话，即!(Q&R)

园丁和杂役不可能都在说谎，即R|S

如果杂役说真话，那么厨师在说谎，即S->!Q

列出真值表如下，以下三种情况都成立

P=0，Q=0，R=1，S=1

P=0，Q=0，R=1，S=0

P=0，Q=0，R=0，S=1

因此，男管家和厨师说谎，园丁和杂役至少有一个说真话

P	Q	R	S	P->Q	!(Q&R)	R|S	S->!Q
1	1	1	1	1->1	!(1&1)=!1=0	1|1	1->0
1	1	1	0	1->1	!(1&1)=!1=0	1|0	0->0
1	1	0	1	1->1	!(1&0)=!0=1	0|1	1->0
1	1	0	0	1->1	!(1&0)=!0=1	0|0	0->0
1	0	1	1	1->0	!(0&1)=!0=1	1|1	1->1
1	0	1	0	1->0	!(0&1)=!0=1	1|0	0->1
1	0	0	1	1->0	!(0&0)=!0=1	0|1	1->1
1	0	0	0	1->0	!(0&0)=!0=1	0|0	0->1
0	1	1	1	0->1	!(1&1)=!1=0	1|1	1->0
0	1	1	0	0->1	!(1&1)=!1=0	1|0	0->0
0	1	0	1	0->1	!(1&0)=!0=1	0|1	1->0
0	1	0	0	0->1	!(1&0)=!0=1	0|0	0->0
0	0	1	1	0->0	!(0&1)=!0=1	1|1	1->1
0	0	1	0	0->0	!(0&1)=!0=1	1|0	0->1
0	0	0	1	0->0	!(0&0)=!0=1	0|1	1->1
0	0	0	0	0->0	!(0&0)=!0=1	0|0	0->1