【状态压缩DP】NOIP2005-river过河

【问题描述】

 在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

对于30%的数据，L <= 10000；

对于全部的数据，L <= 10^9。

【输入格式】

输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

【输出格式】

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

【思路】

最最基础的DP+状态压缩。可以看出石头所在的点在整座桥上是非常稀疏的，所以对于长于s*t的点，都可以通过减去n*s*t得到对应的状态。为了方便起见，把第零块石头设为0，第m+1块石头设为l。

【错因】

犯下了两个错误。

一个是状态压缩压过头了，至少要保留一个周期吧，一不小心连一个周期都没留，所以pos[i]-pos[i-1]>2*d，而不是d。

另一个是因为第(m+1)块石头它其实是假想的，所以DP之前要把它归回到没有石头的行列。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=200+5;
const int MAXN2=10000+500;
const int INF=0x7fffffff;

int pos[MAXN];
int l,s,t,m;
int stone[MAXN2];

void init()
{
    scanf("%d",&l);
    scanf("%d%d%d",&s,&t,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&pos[i]);
    sort(pos+1,pos+m+1);
    pos[0]=0;
    pos[m+1]=l;
}

void easymode()
{
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=m;i++) if (pos[i]%s==0) ans++;
    cout<<ans<<endl;
}

void pretreat()
{
    memset(stone,0,sizeof(stone));
    int d=s*t,nowd=0;
    for (int i=1;i<=m+1;i++)
    {
        pos[i]-=nowd;
        while (pos[i]-pos[i-1]>2*d) 
        /*这里是大于2*d而不是d，因为至少要保留一个最小公倍数*/ 
        {
            pos[i]-=d;
            nowd+=d;
        }
        stone[pos[i]]=1;
    }
    stone[pos[m+1]]=0;
    /*要把最终的位置重新回归到0*/
}

void dp()
{
    int f[MAXN2];
    f[0]=0;
    int ans=INF;
    for (int i=1;i<=pos[m+1]+t-1;i++)
    {
        f[i]=INF;
        for (int j=s;j<=t;j++)
            if (i>=j) f[i]=min(f[i-j],f[i]);
            f[i]+=stone[i];
    }
    for (int i=pos[m+1];i<=pos[m+1]+t-1;i++)
        ans=min(ans,f[i]);
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
    freopen("river9.in","r",stdin);
    freopen("river9.out","w",stdout);
    init();
    if (s==t)
    {
        easymode();
    }
    else
    {
        pretreat();
        dp();
    }
    return 0;
}