五大常用算法之四：回溯法

1、概念

      回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

   回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

     许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

       若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

       而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤：

    （1）针对所给问题，确定问题的解空间：

            首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

    （2）确定结点的扩展搜索规则

    （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法框架

     （1）问题框架

      设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

     （2）非递归回溯框架

   1: int a[n],i;
   2: 初始化数组a[];
   3: i = 1;
   4: while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头
   5: {
   6:     if(i > n)                                              // 搜索到叶结点
   7:     {
   8:           搜索到一个解，输出；
   9:     }
  10:     else                                                   // 处理第i个元素
  11:     {
  12:           a[i]第一个可能的值；
  13:           while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
  14:           {
  15:               a[i]下一个可能的值；
  16:           }
  17:           if(a[i]在搜索空间内)
  18:          {
  19:               标识占用的资源；
  20:               i = i+1;                              // 扩展下一个结点
  21:          }
  22:          else
  23:         {
  24:               清理所占的状态空间；            // 回溯
  25:               i = i –1;
  26:          }
  27: }

（3）递归的算法框架

         回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

   1: int a[n];
   2: try(int i)
   3: {
   4:     if(i>n)
   5:        输出结果;
   6:      else
   7:     {
   8:        for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径
   9:        {
  10:            if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件
  11:              {
  12:                 a[i] = j;
  13:               ...                         // 其他操作
  14:                 try(i+1);
  15:               回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;
  16:               }
  17:          }
  18:      }
  19: }