在平时找工作的时候，或多或少会遇到一些算法问题，很多都是比较经典或者网上已经流传很久的。只是我们没有接触过，所以不知道怎么解决。
在这儿，我自己总结一些我遇到的一些经典算法，给自己增加一点记忆，也给需要的朋友看到学习一下。
1. 倒水问题
如题：一个容量为5升的杯子和一个容量为3升的杯子，水不限使用，要求精确得到4升水。
这类题一般会有两种出题方式：
A.简答
这儿先给出简答的答案：其实结果又很多种，这儿给出倒水次数最少的一种。
B.编程实现
解法也比较多，我首先想到的DFS（深度优先）搜索，每次我们有6种选择，只要不断的尝试下去，总可以搜索完所有的状态，找到一个解。也可以用宽度优先搜索（BFS）。
程序代码后续补上。
后续也有其他版本的倒水问题，如：有三个容器，分别为20升，13升，7升。20升的容器装满水，要使20升和13升的容器里分别装10水，如何做到？
简答的步骤和前面类似：
2.猴子选大王问题
题目：
n只猴子围坐成一个圈，按顺时针方向从1到n编号。
然后从1号猴子开始沿顺时针方向从1开始报数，报到m的猴子出局，再从刚出局猴子的下一个位置重新开始报数，
如此重复，直至剩下一个猴子，它就是大王。
设计并编写程序，实现如下功能：
（1） 要求由用户输入开始时的猴子数$n、报数的最后一个数$m。
（2） 给出当选猴王的初始编号。
这个题直接想到的就是循环链表实现，或者数组实现。
下面直接贴出代码：
解法1：
1 <?php 2 $arr = array('1','2','3','4','5','6','7');//示例数组 3 echo '<pre>The King is :<br/>'; 4 print_r(king($arr,11)); 5 function king($arr,$count){ 6 $i = 1;//从1开始 7 while(count($arr) > 1){ 8 if($i%$count == 0){//用求余，计算数到的位，如果求余为0，所数到的位消除，压出数组中 9 unset($arr[$i-1]); 10 }else{//数到的位不是结束，把这一位放到数组末尾，并消掉这个位 11 array_push($arr,$arr[$i-1]); 12 unset($arr[$i-1]); 13 } 14 $i++;//转移到下一个数组元素17
15 } 16 return $arr; 17 }
这种实现方式是使用数组，如果当前数不是选中的，则将其移到数组最后。算法复杂度较高，当数据量较大时，处理效率低。
解法2：
1 /** 2 * 3 * @param int $n 4 * 开始时的猴子数量 5 * @param int $m 6 * 报道的最后一个数 7 * (报到这个数的猴子被淘汰,然后下一个猴子重新从①开始报数) 8 * @return int 猴子的初始编号 9 */ 10 function monkeySelectKing($n, $m) 11 { 12 // 猴子的初始数量不能小于2 13 if ($n < 2) { 14 return false; 15 } 16 17 $arr = range(1, $n); 18 // 将猴子分到一个数组里, 数组的值对应猴子的初始编号 19 $unsetNum = 0; 20 // 定义一个变量,记录猴子的报数 21 22 for ($i = 2; $i <= $n * $m; $i ++) 23 // 总的循环次数不知道怎么计算, 24 { 25 // 不过因为循环中设置了return,所以$m*$len效率还可以 26 foreach ($arr as $k => $v) { 27 $unsetNum ++; // 每到一个猴子, 猴子报数+1 28 29 // 当猴子的报数等于淘汰的数字时:淘汰猴子(删除数组元素) 30 // 报数归0(下一个猴子从1开始数) 31 if ($unsetNum == $m) { 32 // echo "<pre>";//打开注释,可以看到具体的淘汰过程 33 // print_r($arr); 34 unset($arr[$k]); 35 // 淘汰猴子 36 $unsetNum = 0; 37 // 报数归零 38 if (count($arr) == 1) 39 // 判断数组的长度, 如果只剩一个猴子, 返回它的值 40 { 41 return reset($arr); 42 } 43 } 44 } 45 } 46 } 47 48 var_dump(monkeySelectKing(100, 2));
这种算法实现的复杂度为O(nm);当nm比较大时，这个效率就比较低。
更简单的实现方式：也叫约瑟夫环的数学解法
原理：
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
最后得出的解法就是：
1 /** 2 * 约瑟夫环的数学解法 3 */ 4 function yuesefu($n,$m) { 5 $r=0; 6 for($i=2; $i<=$n; $i++) { 7 8 $r=($r+$m)%$i; 9 } 10 return $r+1; 11 } 12 print_r(yuesefu(100,2));
有关约瑟夫环的数学解法来自于：http://www.cppblog.com/Victordu/archive/2008/02/22/43082.html