P1072 Hanson 的趣味题 题解

P1072 Hanson 的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hanson。现在，刚刚放学回家的 Hanson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数(c_1) 和 (c_2) 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hanson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数(a_0,a_1,b_0,b_1)，设某未知正整数(x)满足：

1． (x) 和 (a_0) 的最大公约数是 (a_1)；

2． (x)和 (b_0) 的最小公倍数是(b_1)。

Hanson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数(x)。但稍加思索之后，他发现这样的(x)并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的(x)的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 (n)，表示有 (n) 组输入数据。接下来的(n)行每行一组输入数据，为四个正整数 (a_0,a_1,b_0,b_1)，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 (a_0)能被 (a_1) 整除，(b_1) 能被(b_0)整除。

输出格式

共(n)行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的(x)，请输出 (0)；

若存在这样的(x)，请输出满足条件的(x) 的个数；

输入输出样例

输入 #1

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出 #1

6 
2

说明/提示

【说明】

第一组输入数据，(x)可以是$ 9,18,36,72,144,288$，共有(6)个。

第二组输入数据，(x) 可以是(48,1776)共有(2)个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 (1≤a_0,a_1,b_0,b_1≤10000) 且(n≤100)。

对于 100%的数据，保证有 (1≤a_0,a_1,b_0,b_1≤2,000,000,000) 且 (n≤2000)。

题解

分析

[gcd(x,a_0)=a_1\lcm(x,b_0)=b_1 ]

枚举(x)，使得满足第一个条件，由此可以推出。

[gcd( frac{x}{a_1}, frac{a_0}{a_1})=1 ]

同理

[egin{cases}ax=b_1\bb_0=b_1end{cases}Longrightarrowgcd(a,b)=1\egin{cases}a=b_1/x\b=b_1/b_0end{cases} ]

整合，得出

[egin{cases}gcd( frac{b_1}{x}, frac{b_1}{b_0})=1\gcd( frac{x}{a_1}, frac{a_0}{a_1})=1end{cases} ]

于是，我们先用(2log(n))的算法暴力枚举因数，然后判断2次(gcd)就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int T,a1,a2,b1,b2,op,ans;
int main(){
	read(T);
	while(T--){
		ans=0;
		read(a1),read(a2),read(b1),read(b2);
		op=sqrt(b2);
		for(int i=1;i<=op;i++){
			if(b2%i==0){
				if(i%a2==0&&gcd(i/a2,a1/a2)==1&&gcd(b2/b1,b2/i)==1) ans++;
				int y=b2/i;
				if(i==y) continue;
				if(y%a2==0&&gcd(y/a2,a1/a2)==1&&gcd(b2/b1,b2/y)==1) ans++;
			
			}
				
		}
		cout<<ans<<endl; 
	}
	return 0;
}