hihoCoder | 优化延迟

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描述

小Ho编写了一个处理数据包的程序。程序的输入是一个包含N个数据包的序列。每个数据包根据其重要程度不同，具有不同的"延迟惩罚值"。序列中的第i个数据包的"延迟惩罚值"是Pi。如果N个数据包按照<Pi1, Pi2, ... PiN>的顺序被处理，那么总延迟惩罚

SP=1*Pi1+2*Pi2+3*Pi3+...+N*PiN（其中i1, i2, ... iN是1, 2, 3, ... N的一个排列)。

小Ho的程序会依次处理每一个数据包，这时N个数据包的总延迟惩罚值SP为

1*P1+2*P2+3*P3+...+i*Pi+...+N*PN。

小Hi希望可以降低总延迟惩罚值。他的做法是在小Ho的程序中增加一个大小为K的缓冲区。N个数据包在被处理前会依次进入缓冲区。当缓冲区满的时候会将当前缓冲区内"延迟惩罚值"最大的数据包移出缓冲区并进行处理。直到没有新的数据包进入缓冲区时，缓冲区内剩余的数据包会按照"延迟惩罚值"从大到小的顺序被依次移出并进行处理。

例如，当数据包的"延迟惩罚值"依次是<5, 3, 1, 2, 4>，缓冲区大小K=2时，数据包被处理的顺序是：<5, 3, 2, 4, 1>。这时SP=1*5+2*3+3*2+4*4+5*1=38。

现在给定输入的数据包序列，以及一个总延迟惩罚阈值Q。小Hi想知道如果要SP<=Q，缓冲区的大小最小是多少？

输入

Line 1: N Q

Line 2: P1 P2 ... PN

对于50%的数据： 1 <= N <= 1000

对于100%的数据： 1 <= N <= 100000, 0 <= Pi <= 1000, 1 <= Q <= 10^13

输出

输出最小的正整数K值能满足SP<=Q。如果没有符合条件的K，输出-1。

样例输入

5 38
5 3 1 2 4

样例输出

2

分析

缓冲区最小是1，最大是N。可以利用二分法搜索最小的满足要求的缓冲区大小。二分的过程中需要计算SP值，可以利用优先队列/最大堆计算。

时间复杂度：
二分：O(log N)
计算SP值：O(N log N)
总复杂度：O(N (log N)^2)

注意所有变量开long long!!!

C++

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

long long N, Q;
long long P[100005];

long long get_SP(int size_buf)
{
    long long sp = 0;
    priority_queue<int> pq;
    int i = 1;
    while (i <= size_buf) {
        pq.push(P[i++]);
    }
    int weight = 1;
    while (!pq.empty()) {
        long long p = pq.top(); pq.pop();
        sp += weight * p; weight++;
        if (i <= N) pq.push(P[i++]);
    }
    return sp;
}

int solve()
{
    int start = 1, end = N;
    while (start + 1 < end) {
        int mid = start + (end - start) / 2;
        long long sp = get_SP(mid);
        if (sp > Q) start = mid;
        else        end = mid;
    }
    if (get_SP(start) <= Q) return start;
    if (get_SP(end) <= Q) return end;
    return -1;
}

int main()
{
    cin >> N >> Q;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%lld", &P[i]);
    cout << solve() << endl;
}