刚刚恶补了替罪羊树，由于一个指针出锅调了贼久，必须得写一篇题解巩固一下理解。
参考了ikka大佬的博客，我的替罪羊树就是在那里学会的。
替罪羊树是一种优越的平衡树，它不像Splay和Treap有着绚丽的旋转操作，而是朴实地暴力重构。
具体来说，为了保持树结构的平衡，替罪羊树在每一次插入和删除的时候都会判断树是否平衡，根据结果选择是否要重构子树。
明白了替罪羊树的思想之后实现其实不难（毕竟思路朴实）。
平衡判断
替罪羊树最核心的部分，也就是它判断树是否平衡的过程，是通过平衡因子来实现的。
这个名字听起来很霸气很高深，但其实就是一个0.5到1之间的浮点数罢了。
1 const double alpha = 0.75;
当一颗树的左子树（或右子树）**存在的**节点数大于这棵树**存在的**节点数*平衡因子的时候，这颗树就是不平衡的。
这个过程我们会在后面用到。
节点结构体
1 struct Node{ 2 int val,size,cover; 3 bool exist; 4 Node* ch[2]; 5 void pushup(){this->size=ch[0]->size+ch[1]->size+(int)exist,this->cover=ch[0]->cover+ch[1]->cover+1;} 6 int isbad(){return (ch[0]->cover>this->cover*alpha+5)||(ch[1]->cover>this->cover*alpha+5);} 7 };
val是节点的值，size是节点子树的大小，cover是节点**存在的**的节点个数。
exist是节点是否存在。
ch是左儿子与右儿子。
pushup操作很好理解，就是size和cover都更新一下。
isbad操作判断当前子树是否是不平衡的，原理就是之前讲的那个过程。（之所以加上5是怕不稳）
你可能会注意到，本文多次强调了“存在”这个概念，没错，替罪羊树不会真正删去节点，而是将它们变为“不存在”。
新节点
你可能会认为新建节点就是new node，然鹅这样太慢了。
为了提速，我们必须手动模拟内存池（其实我听到这个词是懵逼的）。
模拟内存池的流程就是，把所有不要的节点丢进内存回收池，然后需要的时候再提取出来。
这样删除掉的节点就不会浪费，而能得到有效利用。
1 Node mempool[N]; 2 Node *tail,*null,*root; 3 Node *bc[N]; 4 int bc_top; 5 Node* newNode(int val){ 6 Node* p=bc_top?bc[--bc_top]:tail++; 7 p->ch[0]=p->ch[1]=null; 8 p->size=p->cover=p->exist=1; 9 p->val=val; 10 return p; 11 }
mempool就是我们模拟的内存池。tail指向内存池内的元素。
root不用管它。
null是我们模拟的空节点其实没什么用。
bc是内存回收值，bc_top是回收池顶。
创建一个新节点的流程。。。其实我觉得不说你们也看得懂，那就不说了。
重构子树
这是最核心的部分，其根本思路是讲树拍成一个有序数列，然后再重新建树。
排成有序数列做一个中序遍历就可以了，只有存在的节点才加入数列。
建树也很简单，就每次数组折半，分治建即可。
1 void Travel(Node* p,vector<Node*>& x){ 2 if(p==null)return; 3 Travel(p->ch[0],x); 4 if(p->exist)x.push_back(p); 5 else bc[bc_top++]=p; 6 Travel(p->ch[1],x); 7 } 8 Node* Divide(vector<Node*>& x,int l,int r){ 9 if(l>=r)return null; 10 int mid=(l+r)>>1; 11 Node* p=x[mid]; 12 p->ch[0]=Divide(x,l,mid); 13 p->ch[1]=Divide(x,mid+1,r); 14 p->pushup(); 15 return p; 16 } 17 void Rebuild(Node*& p){ 18 vector<Node*> x; 19 x.clear(); 20 Travel(p,x); 21 p=Divide(x,0,x.size()); 22 }
数组你用啥都行，由于懒这里用vector。
实现没有什么好讲的。
插入节点
我个人认为，插入节点是替罪羊树最毒瘤的地方（指针不友好）。
插入节点在插入的同时，会返回指向指向不平衡的节点的指针的指针。
上面那句话就是我所谓的毒瘤（其实也不是很毒瘤），第一次可能会被绕地晕头转向。
之所以要返回指向指针的指针，是因为我们所有操作都需要指针。
1 Node** Insert(Node*& p,int val){ 2 if(p==null){ 3 p=newNode(val); 4 return &null; 5 } 6 p->size++,p->cover++; 7 Node** res=Insert(p->ch[val>=p->val],val); 8 if(p->isbad())res=&p; 9 return res; 10 }
如果当前节点是空节点，那就新建一个节点，然后返回空节点（新的节点不会导致树不平衡）。
否则根据插入节点的值递归左右儿子。
然后假如当前节点子树不平衡，返回当前节点。
删除操作
删除操作很水，没什么技术含量。
1 void Erase(Node*& p,int k){ 2 p->size--; 3 int offset=p->ch[0]->size+p->exist; 4 if(p->exist&&offset==k){ 5 p->exist=false; 6 }else{ 7 if(k<=offset)Erase(p->ch[0],k); 8 else Erase(p->ch[1],k-offset); 9 } 10 }
初始化
顺带一提，从本函数开始是非工具函数（之前的都是protected，并非外部直接调用的函数）。
1 void init(){ 2 tail=mempool; 3 null=tail++; 4 null->ch[0]=null->ch[1]=null; 5 null->cover=null->size=null->exist=0; 6 root=null; 7 bc_top=0; 8 }
初始化就搞一个空节点，然后没了。
其他操作
这些操作都是建立在工具函数的基础上，YY出来的。
要注意插入和删除都得检查树是否平衡。
然后查询rank和第K大都是循环实现，思路很朴实。
1 void insert(int val){ 2 Node** res=Insert(root,val); 3 if(*res!=null)Rebuild(*res); 4 } 5 int rank(int val){ 6 Node* now=root; 7 int ans=1; 8 while(now!=null){ 9 if(now->val>=val)now=now->ch[0]; 10 else{ 11 ans+=now->ch[0]->size+now->exist; 12 now=now->ch[1]; 13 } 14 } 15 return ans; 16 } 17 int kth(int val){ 18 Node* now=root; 19 while(now!=null){ 20 if(now->ch[0]->size+1==val&&now->exist)return now->val; 21 if(now->ch[0]->size>=val)now=now->ch[0]; 22 else val-=now->ch[0]->size+now->exist,now=now->ch[1]; 23 } 24 } 25 void erase(int k){ 26 Erase(root,rank(k)); 27 if(root->size<root->cover*alpha)Rebuild(root); 28 }
代码
AC代码放心使用：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<vector> 4 using namespace std; 5 namespace Scapegoat{ 6 const int N=100100; 7 const double alpha = 0.75; 8 struct Node{ 9 int val,size,cover; 10 bool exist; 11 Node* ch[2]; 12 void pushup(){this->size=ch[0]->size+ch[1]->size+(int)exist,this->cover=ch[0]->cover+ch[1]->cover+1;} 13 int isbad(){return (ch[0]->cover>this->cover*alpha+5)||(ch[1]->cover>this->cover*alpha+5);} 14 }; 15 struct Tree{ 16 protected: 17 Node mempool[N]; 18 Node *tail,*null,*root; 19 Node *bc[N]; 20 int bc_top; 21 Node* newNode(int val){ 22 Node* p=bc_top?bc[--bc_top]:tail++; 23 p->ch[0]=p->ch[1]=null; 24 p->size=p->cover=p->exist=1; 25 p->val=val; 26 return p; 27 } 28 void Travel(Node* p,vector<Node*>& x){ 29 if(p==null)return; 30 Travel(p->ch[0],x); 31 if(p->exist)x.push_back(p); 32 else bc[bc_top++]=p; 33 Travel(p->ch[1],x); 34 } 35 Node* Divide(vector<Node*>& x,int l,int r){ 36 if(l>=r)return null; 37 int mid=(l+r)>>1; 38 Node* p=x[mid]; 39 p->ch[0]=Divide(x,l,mid); 40 p->ch[1]=Divide(x,mid+1,r); 41 p->pushup(); 42 return p; 43 } 44 void Rebuild(Node*& p){ 45 static vector<Node*> x; 46 x.clear(); 47 Travel(p,x); 48 p=Divide(x,0,x.size()); 49 } 50 Node** Insert(Node*& p,int val){ 51 if(p==null){ 52 p=newNode(val); 53 return &null; 54 } 55 p->size++,p->cover++; 56 Node** res=Insert(p->ch[val>=p->val],val); 57 if(p->isbad())res=&p; 58 return res; 59 } 60 void Erase(Node*& p,int k){ 61 p->size--; 62 int offset=p->ch[0]->size+p->exist; 63 if(p->exist&&offset==k){ 64 p->exist=false; 65 }else{ 66 if(k<=offset)Erase(p->ch[0],k); 67 else Erase(p->ch[1],k-offset); 68 } 69 } 70 public: 71 void init(){ 72 tail=mempool; 73 null=tail++; 74 null->ch[0]=null->ch[1]=null; 75 null->cover=null->size=null->exist=0; 76 root=null; 77 bc_top=0; 78 } 79 Tree(){ 80 init(); 81 } 82 void insert(int val){ 83 Node** res=Insert(root,val); 84 if(*res!=null)Rebuild(*res); 85 } 86 int rank(int val){ 87 Node* now=root; 88 int ans=1; 89 while(now!=null){ 90 if(now->val>=val)now=now->ch[0]; 91 else{ 92 ans+=now->ch[0]->size+now->exist; 93 now=now->ch[1]; 94 } 95 } 96 return ans; 97 } 98 int kth(int val){ 99 Node* now=root; 100 while(now!=null){ 101 if(now->ch[0]->size+1==val&&now->exist)return now->val; 102 if(now->ch[0]->size>=val)now=now->ch[0]; 103 else val-=now->ch[0]->size+now->exist,now=now->ch[1]; 104 } 105 } 106 void erase(int k){ 107 Erase(root,rank(k)); 108 if(root->size<root->cover*alpha)Rebuild(root); 109 } 110 }; 111 } 112 using namespace Scapegoat; 113 Tree tree; 114 int main(){ 115 int n,op,x; 116 scanf("%d",&n); 117 while(n--){ 118 scanf("%d%d",&op,&x); 119 if(op==1)tree.insert(x); 120 if(op==2)tree.erase(x); 121 if(op==3)printf("%d ",tree.rank(x)); 122 if(op==4)printf("%d ",tree.kth(x)); 123 if(op==5)printf("%d ",tree.kth(tree.rank(x)-1)); 124 if(op==6)printf("%d ",tree.kth(tree.rank(x+1))); 125 } 126 return 0; 127 }
然后就没了。
后记
有一天我一个ZZ同学跟我说替罪羊树乃至平衡树提高组不考。
o_0??WTF?????????