【题解】 「NOI2018」你的名字 SAM+线段树合并 LOJ2720

你的名字

Legend

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Editorial

https://yutong.site/sam/

(l=1,r=|S|)

最暴力的做法是：对于 (T) 的每一个本质不同的子串判断它是否在 (S) 中出现过。

这其实有一个比较优秀的性质：我们枚举 (T) 的每一个前缀 (T[1:i] (1 le i le |T|))，并考察它的每一个后缀 (T[k:i] (1 le k le i)) 是否满足条件。即枚举子串的右端点。

则对于这个前缀 (T[1:i])，总存在一个分界点 (p) 满足 (T[k:i] (k ge p)) 在 (S) 中出现，(T[k:i] (1 le k < p)) 不在 (S) 中出现。

对于一个前缀 (T[1:i-1])，我们往最后新增一个字符成为 (T[1:i])，也总存在一个分界点 (q) 满足 (T[k:i] (k > q)) 是 (T[1:i-1]) 的子串（即之前已经出现过的子串），(T[k:i] (1 le k le q)) 不是(T[1:i-1]) 的子串（即之前没出现过的子串）。

综上，对于当前前缀 (T[1:i])：

• (S) 中出现过的后缀 (T[k:i]) 满足 (p le k le i)；
• (T) 中第一次出现的后缀 (T[k:i]) 满足 (1 le k le q)。

所以对于所有右端点为 (i) 的子串，只有满足左端点 (1 le k le min(p-1 ,q)) 的子串可以被算进答案。

显然，(p) 可以通过 (T) 串在 (S) 串的 SAM 上匹配得到。

(q) 可以通过对 (T) 串直接建立 SAM 得到（即当前节点与其后缀连接的最长长度之差 ）。

无限制

区间询问对于 (q) 的求解没有影响，故考虑 (p) 的求解有何变化。

显然，我们需要求得每一个 (S) 串 SAM 节点的 endpos 集合，以便判断这个匹配串是出现在区间内部还是外部。endpos 集合可以通过在后缀连接树上线段树合并得到。

时间复杂度 (O(|S| log |S|+ sum |T| log |T|))。

Code

注意到一个实现上的细节是求解 (p) 时的匹配与正常的匹配不太相同，由于一个结点储存的子串长度是一个连续的区间，而此处还存在 endpos 集合的限制，那么在查询的时候我们应当每次将匹配长度减小 (1) 而不能直接跳到后缀连接。

#include <bits/stdc++.h>

#define debug(...) ;//fprintf(stderr ,__VA_ARGS__)
#define __FILE(x)
	freopen(#x".in" ,"r" ,stdin);
	freopen(#x".out" ,"w" ,stdout)
#define LL long long

const int MX = 5e5 + 23;
const LL MOD = 998244353;

int lsqs;
struct node{
	int l ,r;
	node *lch ,*rch;
}*root[MX << 1] ,POOL[MX * 40];

node *newnode(int l ,int r){
	node *x = &POOL[++lsqs];
	x->l = l ,x->r = r;
	x->lch = x->rch = nullptr;
	return x;
}

void set(node *x ,int p){
	if(x->l == x->r) return ;
	int mid = (x->l + x->r) >> 1;
	if(p <= mid){
		if(x->lch == nullptr) x->lch = newnode(x->l ,mid);
		set(x->lch ,p);
	}
	else{
		if(x->rch == nullptr) x->rch = newnode(mid + 1 ,x->r);
		set(x->rch ,p);
	}
}

node *combine(node *x ,node *y){
	if(x == nullptr) return y;
	if(y == nullptr) return x;
	node *t = newnode(x->l ,x->r);
	if(x->l == x->r)；
	else{
		*t = *x;
		t->lch = combine(x->lch ,y->lch);
		t->rch = combine(x->rch ,y->rch);
	}
	return t;
}

int query(node *x ,int l ,int r){
	if(x == nullptr || x->r < l || x->l > r) return 0;
	if(l <= x->l && x->r <= r) return 1;
	return query(x->lch ,l ,r) || query(x->rch ,l ,r);
}

int n;
struct SAMA{
	SAMA(){tot = las = 1;}
	struct __node{
		int ch[26] ,len ,link;
		__node(){memset(ch ,0 ,sizeof ch) ,len = link = 0;}
	}a[MX * 2];
	int las ,tot;
	void extend(int c ,int id){
		int p = las ,cur = las = ++tot;
		root[tot] = newnode(1 ,n);
		set(root[tot] ,id);
		a[cur].len = a[p].len + 1;
		for( ; p && !a[p].ch[c] ; p = a[p].link) a[p].ch[c] = cur;
		if(!p) return a[cur].link = 1 ,void();
		int q = a[p].ch[c];
		if(a[p].len + 1 == a[q].len) return a[cur].link = q ,void();
		int cl = ++tot;
		a[cl] = a[q];
		a[cl].len = a[p].len + 1;
		a[q].link = a[cur].link = cl;
		for( ; p && a[p].ch[c] == q ; p = a[p].link) a[p].ch[c] = cl;
	}
	int cnt[MX * 2] ,len[MX * 2] ,que[MX * 2];
	void build(){
		for(int i = 1 ; i <= tot ; ++i) cnt[a[i].len]++;
		for(int i = 1 ; i <= tot ; ++i) cnt[i] += cnt[i - 1];
		for(int i = 1 ; i <= tot ; ++i) que[cnt[a[i].len]--] = i;
		for(int i = tot ; i >= 2 ; --i){
			int x = que[i];
			root[a[x].link] = combine(root[a[x].link] ,root[x]);
		}
	}
}S;

struct SAMB{
	SAMB(){tot = las = mat = 1 ,matlen = 0;}
	void clear(){
		memset(a ,0 ,sizeof(__node) * (tot + 1));
		las = tot = mat = 1 ,matlen = 0;
	}
	struct __node{
		int ch[26] ,len ,link;
		__node(){memset(ch ,0 ,sizeof ch) ,len = link = 0;}
	}a[MX * 2];
	int las ,tot ,mat ,matlen;

	int run(int c ,int l ,int r ,int qwq){
		for( ; mat > 1 && !S.a[mat].ch[c] ; ){
			mat = S.a[mat].link;
			matlen = S.a[mat].len;
		}
		if(S.a[mat].ch[c]) mat = S.a[mat].ch[c] ,++matlen;
		for( ; mat > 1 ; mat = S.a[mat].link ,matlen = S.a[mat].len){
fuckyou:
			int L = l + matlen - 1;
            // 注意查询范围是 [l + matlen -1 ,r]
            // 而不是 [l ,r]
			if(L > r || !query(root[mat] ,L ,r)){
				--matlen;
				if(matlen == S.a[S.a[mat].link].len) continue;
				goto fuckyou;
			}
			else break;
		}
		int mxr = std::min(a[las].len - a[a[las].link].len ,qwq - matlen);
		debug("prefix %d contribute %d
" ,qwq ,mxr);
		return mxr;
	}
	void extend(int c){
		int p = las ,cur = las = ++tot;
		a[cur].len = a[p].len + 1;
		for( ; p && !a[p].ch[c] ; p = a[p].link) a[p].ch[c] = cur;
		if(!p) return a[cur].link = 1 ,void();
		int q = a[p].ch[c];
		if(a[p].len + 1 == a[q].len) return a[cur].link = q ,void();
		int cl = ++tot;
		a[cl] = a[q];
		a[cl].len = a[p].len + 1;
		a[q].link = a[cur].link = cl;
		for( ; p && a[p].ch[c] == q ; p = a[p].link) a[p].ch[c] = cl;
	}
}T;

char str[MX] ,tmp[MX];

LL query(int l ,int r){
	T.clear();
	LL ans = 0;
	int m = strlen(tmp);
	for(int i = 0 ; i < m ; ++i){
		T.extend(tmp[i] - 'a');
		ans += T.run(tmp[i] - 'a' ,l ,r ,i + 1);
	}
	return ans;
}

int main(){
	scanf("%s" ,str);
	n = strlen(str);
	for(int i = 0 ; i < n ; ++i) S.extend(str[i] - 'a' ,i + 1);
	S.build();

	int Q = read();
	while(Q--){
		scanf("%s" ,tmp);
		int l = read() ,r = read();
		printf("%lld
" ,query(l ,r));
	}

	return 0;
}