Floyd杂记

最小环

分有向图和无向图。

有向图很简单：直接建边然后跑(Floyd)，跑完以后，(dis(i,i))就是经过(i)点的最小环的长度。

无向图……就是在以(k)为中间点扩展之前就把(k)拿进去统计

像这样：

for(int k=1;k<=n;k++)
{
    for(int i=1;i<k;i++)
        for(int j=i+1;j<k;j++)
            minr=std::min( minr,dis[i][j]+e[i][k]+e[j][k] );
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            dis[i][j]=std::min( dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j] );
}

---

矩阵

这个挺有意思。

有这样一个问题：求(S)到(T)经过(k)条边的最短路。

如果(N)能够接受(O(n^3))的算法，那么(Floyd)就派上用场了。

如果(A)矩阵和(B)矩阵分别表示经过(x)条边和(y)条边的矩阵，那么新的矩阵(C=A imes B)就是经过(x+y)条边的矩阵。

JZ res;

for(int i=1;i<=idx_cnt;i++)
    for(int s=1;s<=idx_cnt;s++)
        for(int t=1;t<=idx_cnt;t++)
            res.a[s][t]=std::min( res.a[s][t],a[s][i]+op.a[i][t] );

return res;

和普通的(Floyd)算法不同的是，在这里，等式两边的矩阵是相互独立的。也就是说，(C)矩阵中的(dis)不会对(A)和(B)当中的产生影响，所以(C)矩阵是切切实实只表示(x+y)条边的矩阵。

而(Floyd)算法中，用(1)条边的信息统计完(2)条边的信息之后，(2)条边的信息又要马上在(dis)数组里面用来统计(3)条、(4)条边的信息，所以不是独立的。

知道具体含义之后就可以用矩阵快速幂了:-)