图论——读书笔记（基于BFS广度优先算法的广度优先树）

广度优先树

对于一个图G=(V,E)在跑过BFS算法的过程中会创建一棵广度优先树。

形式化一点的表示该广度 优先树的形成过程是这样的：

对于图G=(V,E)是有向图或是无向图， 和图中的源结点s，

我们定义图G的前驱子图为Gf={Vf, Ef}。

其中Vf = {v ->V : v.f <>NIL} AND {s},

 Ef = {(v.f , v) : v->(Vf - {s})}

即，G的前驱子图Gf是这样定义的：

Gf中的点集合Vf  中的点是G中的前驱（父结点）结点不为空的 AND G图的源结点。

前驱子图Gf中的边集合Ef 中的边是不包括s（G图中的源点）的Gf图中的所有点v到 v的前驱结点v.f所构成的边。

如果前驱子图中的相应点集合Vf满足由从源结点s可以到达的结点组成，

并且对于所有的v->Vf,

子图Gf包含一条从源结点s到结点v的唯一简单路径，

且该路径也是图G里面从源结点s到结点v之间的一条最短路径的话，

那么前驱子图Gf就是广度优先树。

广度优先树实质是一棵连通的树，

并且|Ef| = |Vf| -1(即，边数= 图中结点总数-1)

下面所示的伪代码实现的了打印出从源结点s到结点v的一条最短路径上的所有的结点。

这里假定BFS已经计算出一棵广度优先树了。

PRINT-PATH(G, s, v)

if  v==s
    print s

else if  v.f == NIL
    print "no path from " s "to" v "exists"

elsePRINT-PATH(G, s, v.f)
    print v

因为每次递归调用的时候，路径都比前一次调用中的路径少了一个结点，

所以该过程的运行时间是关于所输出路径上顶点数的一个线性函数。

下面是使用C++语言实现的PRINT-PATH的代码片段，

以及在生成广度优先树之后所实现的打印出s到结点v的一条最短路径上的所有结点。

大致的思想是这样的：

对图G跑一边BFS算法之后，

会根据BFS算法对每个结点的访问的顺序，

对G->Adj[i].father这一个属性进行按照BFS算法的特点进行赋值，

在赋值过后调用print_path这个方法就可以显示出来

源结点s到某一个结点v如果二者是相连通的话，

则会显示出二者之间通过广度优先遍历

所得到的连通路径上所经过的结点

void print_path(Graph *G, int s, int v)
{
      if(s == v)
        print("%c   ", G->Adj[s].name); 


      else if(G->Adj[v].father == NULL)
      
 printf("no path from  %c to %c
", G->Adj[s].name, G->Adj[v].name );

     else  
    {
      print_path(G, s, G->Adj[v].father);   
       printf("%c   ", G->Adj[v].name);
    }
}

对图G跑过一边BFS算法之后，

Vf = {v ->V : v.f <>NIL} AND {s},

Ef = {(v.f , v) : v->(Vf - {s})}

所构成的数据结构是基于图G的广度优先树。

主要内容出自

《算法导论 第三版》