算法笔记----背包九讲 ③多重背包问题

题目
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大
 
转化为01背包问题
另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。
 

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。
 

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。
 

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。
 

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。
 

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：
 

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
    if cost*amount>=V
        CompletePack(cost,weight)
        return
    integer k=1
    while k<amount
        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
        amount=amount-k
        k=k*2
    ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

void completePack(int dp[],int value,int weight,int total)
{
    int i;
    for(i=weight;i<=total;i++)
    {
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-weight]+value);
    }
}

void ZeroOnePack(int dp[],int value,int weight,int total)
{
    int i;
    for(i=total;i>=weight;i--)
    {
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-weight]+value);
    }
}


//多重背包问题 优化 一维数组 二进制的思想  时间复杂度为O(V*Σlog n[i])
void mutiPack(int dp[],int value,int weight,int amount,int total)
{
    if(weight*amount>total)
    {
        completePack(dp,value,weight,total);
    }
    else
    {
        int k=1;
        while(amount-k>=0)
        {
            ZeroOnePack(dp,k*value,k*weight,total);
            amount-=k;
            k*=2;
        }
        ZeroOnePack(dp,amount*value,amount*weight,total);
    }
}


int main()
{
    int n,w;
    cin>>n>>w;
    int i;
    int wi,vi,ci;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>wi>>vi>>ci;
        mutiPack(dp_1,vi,wi,ci,w);
    }

    cout<<dp_1[w]<<endl;
    return 0;
}

希望你仔细体会这个伪代码，如果不太理解的话，不妨翻译成程序代码以后，单步执行几次，或者头脑加纸笔模拟一下，也许就会慢慢理解了。