迪科斯彻算法（Dijkstra）是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻（Edsger Wybe Dijkstra）发明的。算法解决的是有向图中单个源点到其他顶点的最短路径问题。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离，迪科斯彻算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
迪科斯彻算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及G中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u, v) 表示从顶点u 到 v 有路径相连。我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞] 定义。因此，w(u, v) 就是从顶点 u 到顶点 v 的非负花费值（cost）。边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低花费路径(例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。
算法描述
这个算法是通过为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，原点 s 的路径长度值被赋为 0 （d[s] = 0），同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于 V 中所有顶点 v 除 s 外d[v] = ∞）。当算法结束时，d[v] 中储存的便是从 s 到 v 的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。 Dijkstra 算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从 u 到 v 的边，那么从 s 到 v 的最短路径可以通过将边（u, v）添加到尾部来拓展一条从 s 到 u 的路径。这条路径的长度是 d[u] + w(u, v)。如果这个值比目前已知的 d[v] 的值要小，我们可以用新值来替代当前 d[v] 中的值。拓展边的操作一直执行到所有的 d[v] 都代表从 s 到 v 最短路径的花费。这个算法经过组织因而当 d[u] 达到它最终的值的时候每条边（u, v）都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集 S 和 Q。集合 S 保留了我们已知的所有 d[v] 的值已经是最短路径的值顶点，而集合 Q 则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从 Q 移动到 S。这个被选择的顶点是 Q 中拥有最小的 d[u] 值的顶点。当一个顶点 u 从 Q 中转移到了 S 中，算法对每条外接边 (u, v) 进行拓展。
C++代码实现
用Dijkstra算法求一点到其他点的最短路径。关系矩阵可以写成半角阵，因为无向图矩阵是对称的，x代表断路，数字代表点之间的距离，图上一共8个点，自己到自己的距离是0。例如，书P166 例7.3 求图7-13所示途中定点V0与V5的最短路径。我们先将图7-13转换为如下矩阵：
0 1 4 X X X
1 0 2 7 5 X
4 2 0 X 1 X
X 7 X 0 3 2
X 5 1 3 0 6
X X X 2 6 0
详细代码如下：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <numeric>
#include <functional>
#include <climits>
using namespace std;
int map[6][6]={ // map : 图(map)(用邻接矩阵(adjacent matrix)表示)
{0,1,4,'X','X','X'}, //'x'的ASCII码为120，显然远大于本题的两顶点见最大距离
{1,0,2,7,5,'X'},
{4,2,0,'X',1,'X'},
{'X',7,'X',0,3,2},
{'X',5,1,3,0,6},
{'X','X','X',2,6,0}
};
int n; // n : 顶点个数
int s; // s : 源点(source)
vector<bool> known; // known : 各点是否知道最短路径
vector<int> dist; // dist : 源点s到各点的最短路径长
vector<int> prev; // prev : 各点最短路径的前一顶点
void Dijkstra() // 贪心算法(Greedy Algorithm)
{
known.assign(n, false);
dist.assign(n, INT_MAX);
prev.resize(n); // 初始化known、dist、prev。
dist[s] = 0; // 初始化源点s到自身的路径长为0。
while(1)
{
int min = INT_MAX, v = s;
for (int i = 0; i < n; ++i)
if (!known[i] && min > dist[i])
min = dist[i], v = i; // 寻找未知的最短路径长的顶点v，
if (min == INT_MAX) break; // 如果找不到，退出；
known[v] = true; // 如果找到，将顶点v设为已知，
for (int w = 0; w < n; ++w) // 遍历所有v指向的顶点w，
if (!known[w] && map[v][w] < INT_MAX && dist[w] > dist[v] + map[v][w])
dist[w] = dist[v] + map[v][w], prev[w] = v; // 调整顶点w的最短路径长dist和最短路径的前一顶点 prev。
}
}
void Print_SP(int v)
{
if (v != s) Print_SP(prev[v]);
cout << v << " ";
}
int main()
{
n=6;
s = 0;
Dijkstra();
copy(dist.begin(), dist.end(), ostream_iterator<int>(cout, " ")); cout << endl;
for (int i = 0; i < n; ++i)
if(dist[i] != INT_MAX)
{
cout << s << "->" << i << ": ";
Print_SP(i);
cout << endl;
}
system("pause");
return 0;
}
运行结果
