九连环(规律--数学的奥妙)

题目描述

九连环是一种源于中国的传统智力游戏。如图所示，九个圆环套在一把“剑”上，并且互相牵连。游戏的目标是把九个圆环从“剑”上卸下。

圆环的装卸需要遵守两个规则。
第一个（最右边）环任何时候都可以装上或卸下。
如果第k个环没有被卸下，且第k个环右边的所有环都被卸下，则第k+1个环（第k个环左边相邻的环）可以任意装上或卸下。
与魔方的千变万化不同，解九连环的最优策略是唯一的。为简单起见，我们以“四连环”为例，演示这一过程。这里用1表示环在“剑”上，0表示环已经卸下。
初始状态为1111，每部的操作如下：
1101（根据规则2，卸下第2个环）
1100（根据规则1，卸下第1个环）
0100（根据规则2，卸下第4个环）
0101（根据规则1，装上第1个环）
0111（根据规则2，装上第2个环）
0110（根据规则1，卸下第1个环）
0010（根据规则2，卸下第3个环）
0011（根据规则1，装上第1个环）
0001（根据规则2，卸下第2个环）
0000（根据规则1，卸下第1个环）
由此可见，卸下“四连环”至少需要10步。随着环数增加，需要的步数也会随之增多。例如卸下九连环，就至少需要341步。
请你计算，有n个环的情况下，按照规则，全部卸下至少需要多少步。

输入

输入第一行为一个整数m ，表示测试点数目。
接下来m行，每行一个整数n。

输出

输出共m行，对应每个测试点的计算结果。

样例输入

3
3
5
9

样例输出

5
21
341

提示

对于10%的数据，1≤n≤10。
对于30%的数据，1≤n≤30。
对于100%的数据，1≤n≤10⁵,1≤m≤10。

九圆环这个东西真的很神奇

对于N环，解N连环，就是先解一个N-2连环，再解最后一个环，再上N-2连环，再解N-1连环。

F（N）= 2F(N-2)+F(N-1)+1 ===== F(N) = 2F(N-1)+1 (N&1==1)    F(N) = 2F(N-1) (N & 1 == 0)

另外，九连环和格雷码有着密切关系。

如11111，将右端看作第一环，那么他的各种状态当成格雷码，将其转换为对应的二进制就是该状态对应步数，若是求一种状态到另一种状态，相减即可。

在将其一和二环操作合并后还有别的知识，大家可以去找找

import java.util.*;
import java.math.BigInteger;
 
public class Main {
    public static void main(String args[]) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int t = cin.nextInt();
        while (t-- != 0) {
            int n = cin.nextInt();
            BigInteger ans = BigInteger.ONE;
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(2));
                if (i % 2 == 1) {
                    ans = ans.add(BigInteger.ONE);
                }
            }
            System.out.println(ans);
        }
 
    }
}