【POJ】2096 Collecting Bugs

http://poj.org/problem?id=2096

题意：s个系统n种bug，每天找出一个bug，种类的概率是1/n，系统的概率是1/s。问：每个系统至少找出一个bug；每种类的bug都被找出。的期望天数（0<n, s<=1000）

#include <cstdio>
using namespace std;
double d[1005][1005];
int n, s;
double D;
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &s);
	d[s][n]=0;
	D=s*n;
	for(int i=s; i>=0; --i) for(int j=n; j>=0; --j) if(!(i==s&&j==n))
		d[i][j]=((d[i+1][j]*(s-i)*j+d[i][j+1]*i*(n-j)+d[i+1][j+1]*(s-i)*(n-j))/D+1)/(1-i*j/D);
	printf("%.4f
", d[0][0]);
	return 0;
}

　　

设$d(i, j)$表示已经找到了$i$个系统的bug，$j$种bug还需要的期望天数，显然答案是$d(0, 0)$

考虑转移：由于$d(i, j)$可以转移到5种子集，且互斥，转移如下：

1. 权为1，概率为1。（表示今天找到的bug）
2. 权为$d(i, j)$，概率为$i*j/s/n$。（表示由找到了一个旧系统且是旧种类的bug的状态转移过来）
3. 权为$d(i+1, j)$，概率为$(s-i)*j/s/n$。（表示由找到了一个新系统但是是旧种类的bug的状态转移过来）
4. 权为$d(i, j+1)$，概率为$i*(n-j)/s/n$。（表示由找到了一个旧系统但是是新种类的bug的状态转移过来）
5. 权为$d(i+1, j+1)$，概率为$(s-i)*(n-j)/s/n$。（表示由找到了一个新系统且新种类的bug的状态转移过来）

发现是不是和一般的dp不同了呢？转移中有自己！哈哈，这就是期望dp的精髓所在= =

那么我们可以移项了= =（这样就不会无限递归，体现了数学的奥秘= =）最后得到：

$$d(i, j) = (ijd(i, j)+(s-i)jd(i-1, j)+i(n-j)d(i, j-1)+(s-i)(n-j)d(i-1, j-1)+1)/(n*s)/(1-ij/(n*s))$$

可能你会说，为什么要设“还需要的期望天数”而不是“转移到当前状态的期望天数”呢？因为在自己对自己的转移中，假设那样设状态的话，答案显然是$d(s, n)$对吧，可是你会发现转移方程除数变成0了！因此状态转移不过来...

而前者由于初始状态显然是$d(s, n)=0$，就不会出现除数为0也就是求极限的步骤啦= =，因此可以这样搞下去啦= =。（其实上边的状态不是不可做，可以无限递归，其实就是极限= =，换一种方式设状态就是避免了陷入求极限）