【BZOJ】3505: [Cqoi2014]数三角形

题意

(n * m(1 le n, m le 1000))的网格，求顶点在格点上三角形的个数。

分析

假设(n le m)
(ans = inom{(n+1) * (m+1)}{3} - L)，其中(L)表示三点共线的方案数。
所以

$$ egin{align} L & = frac{1}{2} sum_{dx=0}^{n} sum_{dy=0}^{m} sum_{fx=0}^{n} sum_{fy=0}^{m} (gcd(|dx-fx|, |dy-fy|)-1) \ & = 2 sum_{x=0}^{n} sum_{y=0}^{m} sum_{i=1}^{x} sum_{j=1}^{y} (gcd(i, j)-1) + (m+1) inom{n+1}{3} + (n+1) inom{m+1}{3} \ & = 2 f(n, m) + (m+1) inom{n+1}{3} + (n+1) inom{m+1}{3} \ \ f(n, m) & = sum_{x=0}^{n} sum_{y=0}^{m} sum_{i=0}^{x} sum_{j=0}^{y} (gcd(i, j)-1) \ & = sum_{x=0}^{n} sum_{y=0}^{m} left( sum_{i=0}^{x} sum_{j=0}^{y} gcd(i, j) - x * y ight) \ & = sum_{x=0}^{n} sum_{y=0}^{m} (g(x, y) - x * y) \ \ g(n, m) & = sum_{i=0}^{n} sum_{j=0}^{m} gcd(i, j) \ & = g(n, m-1) + sum_{i=0}^{n} gcd(i, m) \ & = g(n, m-1) + h(n, m) \ \ h(n, m) & = sum_{i=0}^{n} gcd(i, m) \ & = h(n-1, m) + gcd(n, m) \ end{align} $$

用这个$O(n^2 log n)$的是可以过的，所以就不用推下去了。

题解

分析已经推出一个(O(n^2 log n))的做法，更优做法请自己推～

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
typedef long long ll;
int gcd(int a, int b) {
	return b?gcd(b, a%b):a;
}
int n, m;
ll G[N][N], f[N][N];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	ll ans=0, t=(n+1)*(m+1);
	ans=(t*(t-1)*(t-2)-(ll)(n+1)*n*(n-1)*(m+1)-(ll)(m+1)*m*(m-1)*(n+1))/6;
	for(int i=1; i<=n; ++i) {
		for(int j=1; j<=m; ++j) {
			f[i][j]=f[i-1][j]+gcd(i, j);
			G[i][j]=G[i][j-1]+f[i][j];
		}
	}
	t=0;
	for(int x=0; x<=n; ++x) {
		for(int y=0; y<=m; ++y) {
			t+=G[x][y]-x*y;
		}
	}
	printf("%lld
", ans-t*2);
	return 0;
}