快速幂详解

快速幂的用途

顾名思义，快速幂就是很快速的幂运算，试想当你面对一个问题：求abab的时候，你的第一反应是开long long然后用for循环一点一点求。那么你就已经会了幂运算的O(b)算法。按常理来讲，这样的算法已经够用了，但是遇到一些卡时间的题目的时候还是会T，于是快速幂应运而生。简单地说，快速幂就是一种复杂度为O(logb)的求幂运算的算法。

快速幂的实现原理

对于a^b，快速幂的时间复杂度是O(logb)的。一个整数可以被拆分成若干个2^k的和。可以把b二进制分解，成为若干个2^k的和，也就是将b转换为2进制按权相加式。

b = x₀2⁰ + x₁2¹ + x₂2² + … + x_n-12^n-1。

再由a^b = a^b = a^(x₀*2⁰ + x₁*2¹ + x₂*2² + … + x_n-1*2^n-1)，可以减少乘法操作的次数，先是基数2¹~2ⁿ，先进行了n次乘法，再由有效位(b的二进制形式中，数码为1的位)的位数m，额外进行m-1次的计算，则总共计算了n+m-1次，即得到计算次数不超过log₂c + m – 1次。从原来的乘n次变为现在的最多乘2log₂n次，因此，时间复杂度由原来的O（b）减小为现在的O（log₂b）。

举个例子：

求解问题： 3⁴²。

第一步，将42二进制拆分：(42)₁₀=(101010)₂=1×2⁵+0×2⁴+⋯+0×2⁰

那么， 3⁴²就变成了：3⁴²=3^{1×32+0×16+1×8+0×4+1×2+0×1} =3³²*3⁸*3²

快速幂的迭代写法

int qpow(int a,int b)

{

    int ret=1;

    while(b>0)

    {

        if(b&1)

            ret*=a;

        a*=a;

        b>>=1;

        }

    }

    return ret;

}

     通常，由于int类型以及long long类型的数值范围限制，通常遇到的OJ题目需要对运算结果取模：

快速幂取模

（a*b）%m = （（a%m）*（b%m））%m；

其实快速幂取模也是用到这个

那么根据上面的定理可以推导出另一个定理：

(a^b) mod c = (a * a * a........)%c =  ((a%c)*(a%c)*(a%c)*.........)%c = (a%c)^b %c;

这就是快速幂取模

代码如下：

 int pow_mod(int a ,int b)

 {

     int ans = 1 ;

     int base = a % c;

         while(b>0)

     {

           if(b&1!=0)

             ans = (ans *base)%c;

     }

      base = (base*base)%c;

     b >>= 1;

     return ans;

 }

快速幂的递归代码实现

在求解a^b的时候

1）当b是奇数时，那么有 a^b = a * a^b

2）当b是偶数时，那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)

这个东西可以用递归来实现。代码如下：

int qpow(int a,int b)

{

    if(!b)

        return 1;

    else if(b&1)

        return a*qpow(a,b-1);

    else

    {

        int t=qpow(a,b>>1);

        return t*t;

    }

}