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  • 马尔科夫链简介

    马尔科夫链

    第一部分 概念
    1.概率向量:一个具有非负分量且数值之和为1的向量。
    2.随机矩阵:各列向量均为随机向量的方阵。
    3.马尔科夫链:由一个概率向量序列X0,X1,X2,...,Xn和一个随机矩阵P组成,且满足X1=PX0,X2=PX1,...,Xn=PXn-1

    第二部分 例题
    例1.
         |0.5 0.2 0.3|      |1|
    令 P=|0.3 0.8 0.3|   X0=|0|
         |0.2 0   0.4| ,   |0| ,求 X1,X2,...,X15

    答:
       计算略。
    说明:
       X15≈[0.3 0.6 0.1]T=q.并且可以发现Pq=q.
      引出另外一个概念:
       概念4.稳态向量(平衡向量):满足Pq=q的向量q。
      并且有一个定理:
      定理一:任何一个随机矩阵有一个稳态向量,给定随机矩阵便确定了稳态向量,稳态向量与初始向量X0无关,只与随机矩阵P有关。(证明略)
    例2:求P=|0.6 0.3|
             |0.4 0.7|的稳态向量q.
    答:
       因为Pq=q,所以Pq-q=0,所以 (P-E)q=0.解此齐次方程组得
       X0=[3/4,1]T,因为是概率向量,所以选择更好的[3/7,4/7]T。
       可以验证Pq=q

    概念4.正则随机矩阵:若某个随机矩阵的k次方(0<=k<∞)包含的数值全部是正数,则此矩阵是正则随机矩阵。
    定理2.若P是一个正则随机矩阵,则P具有唯一的稳态向量q。
         推论:当k->∞时,Xk->q.
    第三部分 应用:
    应用题1.
        某地区的人口迁移的随机矩阵如下,在2000年是有6000人在城市,4000人在郊区,问在2001年时的人口分布,和若干年后的人口分布。
        由  城市   郊区  去
          M=|0.95  0.03| 城市
            |0.05  0.97| 郊区

    答:
       1) 2001年的人口分布情况为
        |0.95 0.03| |6000| |5820|
        |0.05 0.97| |4000|=|4180|
       2)求得M的稳态向量为[0.375 0.625]T,所以从长远来看,到无穷年后,人口分布稳定在[3750 6250],即城市3750人,郊区6250人。

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