二维树状数组及（不会用到的）三维树状数组

二维树状数组及（不会用到的）三维树状数组

前置芝士

一维树状数组(lowbit)

二维树状数组

二维树状数组涉及到两种基本操作，修改矩阵中的一个点，查询子矩阵的和

首先是修改点的操作：

void update(int x,int y,int z){		//坐标为(x,y)的点增加z
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    for(int j=y;j<=n;j+=lowbit(j))
        c[i][j]+=z;
}

然后是查询子矩阵的和，这里查询的是从左上角到目标点所形成的矩阵的元素和

int sum(int x,int y){
    int ret=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j))
        ret+=c[i][j];
    return ret;
}

那么如果我要查具体的一个子矩阵，就需要给出左上角的点和右下角的点的坐标，然后：

int x1,y1,x2,y2;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
cout<<sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1)<<endl;

就可以了

下面附上完整的二维树状数组的代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1005;
const int maxm=1005;
int n,m;
int q;
int a[maxn][maxm];
int c[maxn][maxm];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int x,int y,int z)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
        c[i][j]+=z;
}

int sum(int x,int y)
{
    int ret=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j))
        ret+=c[i][j];
    return ret;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        cin>>a[i][j];
        update(i,j,a[i][j]);
    }
    cin>>q;
    while(q--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        if(x==1)
        {
            int y,z,w;
            cin>>y>>z>>w;
            update(y,z,w);
        }
        if(x==2)
        {
            int x1,y1,x2,y2;
            cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
            cout<<sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

接下来我们对二维树状数组进行简单的拓展，将其拓展为修改矩形区间，查询单点的二维树状数组

其实就是把二维差分的思想引入进去，当然，如果不用树状数组直接用二维差分数组也是完全可以的，这个时候修改区间变成了O（1）,查询点就变成了O（n），还是需要自己去权衡

二维树状数组的修改和查询的函数还是完全不用去变的

修改区间就要这么修改了：

void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int w)
{
    update(x1,y1,w);            
	update(x2+1,y2+1,w);
	update(x2+1,y1,-w);
	update(x1,y2+1,-w);
}

这个东西虽然是类比一维情况得来的，但是你不要去想，去在纸上画一画，主对角线端点为正，负对角线端点为负，然后就很显然了

查询单点的话直接sum(x,y)即可

这里给出完整的代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1005;
const int maxm=1005;
int n,m;
int q;
int a[maxn][maxm];
int d[maxn][maxm];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int x,int y,int z)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
        d[i][j]+=z;
}
void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int w)
{
    update(x1,y1,w);
    update(x2+1,y2+1,w);
    update(x2+1,y1,-w);
    update(x1,y2+1,-w);
}
int sum(int x,int y)
{
    int ret=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j))
        ret+=d[i][j];
    return ret;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    cin>>q;
    while(q--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        if(x==1)
        {
            int x1,y1,x2,y2,w;
            cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>w;
            add(x1,y1,x2,y2,w);
        }
        if(x==2)
        {
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            cout<<sum(x,y)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

最后思考如何区间修改+区间查询

类比之前一维数组的区间修改区间查询(这个博客没有)，下面这个式子表示的是点(x, y)的二维前缀和：

[sumlimits_{i=1}^xsumlimits_{j=1}^ysumlimits_{h=1}^isumlimits_{k=1}^jd[h][k] ]

类比一维数组，统计一下每个 (d[h][k]) 出现过多少次。 (d[1][1]) 出现了 (x+y) 次， (d[1][2]) 出现了 (x*(y-1)) 次 (cdotscdots) (d[h][k]) 出现了 ((x-h+1)*(y-k+1)) 次。

那么这个式子就可以写成：

[sumlimits_{i=1}^xsumlimits_{j=1}^yd[i][j]*(x+1-i)*(y+1-j) ]

把这个式子展开，就得到：

[(x+1)*(y+1)*sumlimits_{i=1}^xsumlimits_{j=1}^yd[i][j]-(y+1)*sumlimits_{i=1}^xsumlimits_{j=1}^yd[i][j]*i-(x+1)*\sumlimits_{i=1}^xsumlimits_{j=1}^yd[i][j]*j+sumlimits_{i=1}^xsumlimits_{j=1}^yd[i][j]*i*j ]

那么我们要开四个树状数组，分别维护：

[d[i][j],d[i][j]*i,d[i][j]*j,d[i][j]*i*j ]

这样就可以解决上述问题了

代码如下：

void update(int x,int y,int z)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
        d1[i][j]+=z;
    	d2[i][j]+=z*x;
    	d3[i][j]+=z*y;
    	d4[i][j]+=z*x*y;
}
void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int w)
{
    update(x1,y1,w);            
	update(x2+1,y2+1,w);
	update(x2+1,y1,-w);
	update(x1,y2+1,-w);
}
int sum(int x,int y)
{
    int ret=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j))
        ret+=(x+1)*(y+1)*d1[i][j]-(y+1)*d2[i][j]-(x+1)*d3[i][j]+d4[i][j];
    return ret;
}
int ask(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    return sum(x2,y2)-sum(x2,y1-1)-sum(x1-1,y2)+sum(x1-1,y1-1);
}

模板题

BZOJ 3132（自己上网搜吧）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>

using namespace std;
const int maxn=2105;
const int maxm=2105;
int n,m;
int a[maxn][maxm],d1[maxn][maxm],d2[maxn][maxm],d3[maxn][maxm],d4[maxn][maxm];

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int x,int y,int z)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)){
        d1[i][j]+=z;
    	d2[i][j]+=z*x;
    	d3[i][j]+=z*y;
    	d4[i][j]+=z*x*y;
	}
}
void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int w)
{
    update(x1,y1,w);            
	update(x2+1,y2+1,w);
	update(x2+1,y1,-w);
	update(x1,y2+1,-w);
}
int sum(int x,int y)
{
    int ret=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j))
        ret+=(x+1)*(y+1)*d1[i][j]-(y+1)*d2[i][j]-(x+1)*d3[i][j]+d4[i][j];
    return ret;
}
int ask(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    return sum(x2,y2)-sum(x2,y1-1)-sum(x1-1,y2)+sum(x1-1,y1-1);
}
int main()
{
	char op[2];
	scanf("%s",op);
    cin>>n>>m;
    while(scanf("%s",op)!=-1)
    {
        if(op[0]=='L')
        {
            int x1,y1,x2,y2,w;
            cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>w;
            add(x1,y1,x2,y2,w);
        }
        else
        {
            int x1,y1,x2,y2;
            cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
            cout<<ask(x1,y1,x2,y2)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

三维树状数组

怎么拓展呢？直接在二维树状数组的基础上加一维就可以了，不用进行任何改动，这里我们只介绍其中的一种变式，那就是三维树状数组修改区间查询点

（如果有人出三维树状数组修改区间查询区间的那种题，直接在二维树状数组修改区间查询区间的基础上改，应该不会有这种题的）

下面给出代码，着重观察修改部分就可以了。

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int maxm=105;
const int maxl=105;
int n,m,l;
int q;
int a[maxn][maxm][maxl];
int c[maxn][maxm][maxl];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int x,int y,int z,int w)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
    for(int k=z;k<=l;k+=lowbit(k))
        c[i][j][k]+=w;
}

int sum(int x,int y,int z)
{
    int ret=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j))
    for(int k=z;k>=1;k-=lowbit(k))
        ret+=c[i][j][k];
    return ret;
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>l;
    cin>>q;
    while(q--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        if(x==1)
        {
            int x1,y1,z1,x2,y2,z2,w;
            cin>>x1>>y1>>z1>>x2>>y2>>z2>>w;
             update(x1,y1,z1,w);
             update(x1,y2+1,z1,-w);
             update(x2+1,y1,z1,-w);
             update(x2+1,y2+1,z1,w);

             update(x1,y1,z2+1,-w);
             update(x1,y2+1,z2+1,w);
             update(x2+1,y1,z2+1,w);
             update(x2+1,y2+1,z2+1,-w);
        }
        if(x==2)
        {
            int x,y,z;
            cin>>x>>y>>z;
            cout<<sum(x,y,z)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

部分段落来自静听风吟。和Lv1_kangdi