欧拉定理

欧拉定理

前置芝士

欧拉函数(varphi(n)) 表示 (1)~(n) 中与 (n) 互质的数的个数

数学定义如下

[varphi(n)=sumlimits_{i=1}^n[gcd(i,n)==1] ]

欧拉函数是积性函数，即对于 (forall n,p)，若(gcd(n,p)=1)，则有(varphi(np)=varphi(n)*varphi(p))。

显然，对于任意质数 (p)，有

[varphi(p)=p-1 ]

而对于任意整数，不难给出一个计算公式如下

若算数基本定理即 (n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}) 成立，则有

[varphi(n)=n*prod_{i=1}^m(1-frac1{p_i}) ]

证明：容斥原理自己想（雾

定义

(forall~a~,~m~in~Z^+~,gcd(a,m)=1)，则一定满足(~a^{varphi(m)}~equiv~1~(mod~m)~)。该定理被称作欧拉定理。

推导

记 (x_i) 为第i个与m互质的数，则共有(varphi(m)个x_i)

设 (p_i~=~a imes x_i)

引理一：

({p_i}) 间两两模 (m) 不同余，({x_i}) 间两两模 (m) 不同余。

证明：

先证({x_i})间两两模 (m) 不同余：

因为(~forall~i~in~[1,phi(m)]~,~x_i~<~m~)，故

[~x_iequiv x_i(mod~m) ]

又(~forall~i,j~in~[1,varphi(m)],i~ eq~j~)都有(~x_i~ eq~x_j~)。于是

[~x_i otequiv x_j(mod~m) ]

所以({x_i})间两两模 (m) 不同余

再证({p_i})间两两模 (m) 不同余：

反证法，若存在一对(~i,j~in~[1,varphi(m)]~,~i ot=j~,p_i~equiv~p_j~(mod~m)~)，则

[a~ imes~x_i~equiv~a~ imes~x_j~(mod~m) ]

[Rightarrow~x_i~equiv~x_j~(mod~m) ]

根据({x_i})间两两模(m)不同余，产生矛盾，于是({p_i})间两两模(m)不同余

证毕

引理2：

(forall~i~in~[1,varphi(m)]~,~p_i~)与 (m) 互质。

证明

写出(m,a,x_i,p_i)的唯一分解式：

[m~=~q_1^{c_1}~q_2^{c_2}~dots~q_k^{c_k}\ a=q_1^{d_1}~q_2^{d_2}~dots~q_k^{d_k}\ x_i~=~q_1^{e_1}~q_2^{e_2}~dots~q_k^{e_k}\ p_i~=~q_1^{e_1+d_1}~q_2^{e_2+d_2}~dots~q_k^{e_k+d_k}\ ]

则 (forall~i~,c_i~ eq~0~)都有(d_i=e_i=0)，于是(d_i+e_i~=~0)。

于是 (forall~iin[1,varphi(m)]~,~p_i~)与 (m) 互质。

证毕

根据上述引理，可得所有 (p_i) 的模(m)的解的集合与 ({x_i}) 相等，于是他们的积模(m)的值也相等。

于是有

[prod_{i=1}^{varphi(m)}~p_i~equiv~a^{varphi(m)}~prod_{i=1}^{varphi(m)}~x_i~equiv~prod_{i=1}^{varphi(m)}~x_i~(mod~m) ]

于是有 (a^{varphi(m)}~equiv~1~(Mod~m)) 。证毕。

（部分资料来自这里）