Description
在一个长度为 (m) 的环上有指定的 (n) 个点，每个点可以选一个方向（左或右）延伸出一条长度为 (x) 的线段，问覆盖这个环的最小 (x)
Solution
因为要求最小的 (x) ，所以可以考虑二分答案。
那么我们怎么 (operatorname{check}) 呢？
因为是在一个环上，所以用熟悉的方法，先拆环成链，然后再返过来看环。
如果在一个链上，我们就可以用DP了。
设 (f_i) 为第 (i) 个点能覆盖的最远位置， (p_i) 为第 (i) 个点的位置，那么可以得出转移方程：
[f_i=maxegin{cases}p_i+x &(p_i-1leq f_{i-1})\p_i&(p_i-x+1leq f_{i-1}<p_i-1)end{cases}
]
第一个代表 (i-1) 能覆盖到 (i) 的位置，所以 (i) 可以往右走；第二个是 (i-1) 覆盖不到 (i) 但是 (i) 往左走能使得 (i) 之前被都被覆盖，所以 (i) 走的最远的位置就是原来的位置。
但是这样会有个问题， (i-1) 和 (i) 之间的位置如果可以用 (i-2) 往左走来覆盖，我们没有考虑这种情况。那么此时 (i-1) 就可以往右走，状态方程就会变成：
[f_{i}=max(f_i,p_{i-1}+x) (p_{i}-x+1leq f_{i-2})
]
状态转移就完了。
嗯？ (i-1) 和 (i) 之间的位置能被 (i+1) 覆盖，怎么办。
那什么情况 (i+1) 会往左覆盖呢？就是 (f_{i}<p_{i+1}-1) ，所以如果 (i) 能往右，那 (i-1) 往右显然更优，所以是包含在上面的方程中的(￣▽￣)"
那么回过来考虑环怎么办——发现可能 (1) 和 (2) 之间的这一段是由 (n) 来覆盖的，那这样就不能转移了。
为了避免这种情况，我们就将最长的那一条边破开，并这条边作为二分的上界，那么现在的 (n) 就不能往右覆盖 (1) 了。
然后将 (1) 往左和往右都DP一次即可。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=200010;
ll n,m,a[N],p[N],f[N],l,r,ans;
inline ll read(){
ll x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void init(){
int now=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(a[i+1]-a[i]>a[now+1]-a[now]) now=i;
r=a[now+1]-a[now]-1;
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=a[i+now];
ll tmp=p[1];
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]-=tmp;
}
inline bool check(ll x){
f[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
f[i]=f[i-1];
if(f[i-1]>=p[i]-1) f[i]=max(f[i],p[i]+x);
if(f[i-1]>=p[i]-x-1) f[i]=max(f[i],p[i]);
if(i>2&&f[i-2]>=p[i]-x-1) f[i]=max(f[i],p[i-1]+x);
}
if(f[n]>=m-x-1) return 1;
f[2]=max(p[2],x);
for(int i=3;i<=n;i++){
f[i]=f[i-1];
if(f[i-1]>=p[i]-1) f[i]=max(f[i],p[i]+x);
else if(f[i-1]>=p[i]-x-1) f[i]=max(f[i],p[i]);
if(f[i-2]>=p[i]-x-1) f[i]=max(f[i],p[i-1]+x);
}
if(f[n]>=min(m-1,m+p[2]-x-1)) return 1;
return 0;
}
int main(){
m=read(); n=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
a[i+n]=a[i]+m;
}
if(n==1){
printf("%lld
",m-1);
return 0;
}
init();
while(l<=r){
ll mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}