数据结构之树

树（tree）

• 定义

　　　　树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做 “树” 是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。树结构是一种非线性存储结构，存储的是具有“一对多”关系的数据元素的集合

　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

• 树的特点

　　　　每个节点有零个或多个子节点；

　　　没有父节点的节点称为根节点；

　　　每一个非根节点有且只有一个父节点；

　　　除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

• 二叉树

　　　　二叉树是树类结构中最常见的，也是运用最广泛的，二叉树是一种比较有用的折中方案，它添加，删除元素都很快，并且在查找方面也有很多的算法优化，所以，二叉树既有链表的好处，也有数组的好处，是两者的优化方案，在处理大批量的动态数据方面非常有用。它具有以下几个特点：

　　　　　每个结点最多有两颗子树，结点的度最大为2。 

　　　　　左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。 

　　　　　即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。

　　　　　二叉树中，第 i 层最多有 2^i-1 个结点。

　　　　　如果二叉树的深度为 K，那么此二叉树最多有 2^K-1 个结点。

　　　　　　　　　　　　　　

• 满二叉树和完全二叉树

　　　　满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

 　　　　　　　　　　　　　　

　　　　满二叉树具有以下性质：

　　　　　满二叉树中第 n 层的节点数为 2^n-1 个。

　　　　　深度为 k 的满二叉树必有 2^k-1 个节点 ，叶子数为 2^k-1。

　　　　　满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。

　　　　　具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log₂(n+1)。

　　　完全二叉树：如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

　　　　　　　　　　　　　　

　　　完全二叉树的性质：

　　　　　　满二叉树中第 n 层的节点数为 2^n-1 个。

　　　　　　深度为 k 的满二叉树必有 2^k-1 个节点 ，叶子数为 2^k-1

　　　　　　n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log₂n⌋+1。

• 二叉树的遍历

　　　　先序遍历：

　　　　　　　　访问根节点；

　　　　　　　　访问当前节点的左子树；

　　　　　　　　若当前节点无左子树，则访问当前节点的右子树；

　　　　　　　　　　　　　　

 

 　　　　　　先序遍历具体过程：　　　

1. 1. 1. 访问该二叉树的根节点，找到 1；
      2. 访问节点 1 的左子树，找到节点 2；
      3. 访问节点 2 的左子树，找到节点 4；
      4. 由于访问节点 4 左子树失败，且也没有右子树，因此以节点 4 为根节点的子树遍历完成。但节点 2 还没有遍历其右子树，因此现在开始遍历，即访问节点 5；
      5. 由于节点 5 无左右子树，因此节点 5 遍历完成，并且由此以节点 2 为根节点的子树也遍历完成。现在回到节点 1 ，并开始遍历该节点的右子树，即访问节点 3；
      6. 访问节点 3 左子树，找到节点 6；
      7. 由于节点 6 无左右子树，因此节点 6 遍历完成，回到节点 3 并遍历其右子树，找到节点 7；
      8. 节点 7 无左右子树，因此以节点 3 为根节点的子树遍历完成，同时回归节点 1。由于节点 1 的左右子树全部遍历完成，因此整个二叉树遍历完成；

　　　　　先序遍历的最终结果为：1,2,4,5,3,6,7

　　　　　　中序遍历：

　　　　　　　　访问当前节点的左子树；

　　　　　　　　访问根节点；

　　　　　　　　访问当前节点的右子树

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　中序遍历具体过程：　　　　　

1. 1. 1. 访问该二叉树的根节点，找到 1；
      2. 遍历节点 1 的左子树，找到节点 2；
      3. 遍历节点 2 的左子树，找到节点 4；
      4. 由于节点 4 无左孩子，因此找到节点 4，并遍历节点 4 的右子树；
      5. 由于节点 4 无右子树，因此节点 2 的左子树遍历完成，访问节点 2；
      6. 遍历节点 2 的右子树，找到节点 5；
      7. 由于节点 5 无左子树，因此访问节点 5 ，又因为节点 5 没有右子树，因此节点 1 的左子树遍历完成，访问节点 1 ，并遍历节点 1 的右子树，找到节点 3；
      8. 遍历节点 3 的左子树，找到节点 6；
      9. 由于节点 6 无左子树，因此访问节点 6，又因为该节点无右子树，因此节点 3 的左子树遍历完成，开始访问节点 3 ，并遍历节点 3 的右子树，找到节点 7；
      10. 由于节点 7 无左子树，因此访问节点 7，又因为该节点无右子树，因此节点 1 的右子树遍历完成，即整棵树遍历完成；

　　　　　　　　中序遍历的最终结果为：4,2,5,1,6,3,7

　　　　　　后序遍历：

　　　　　　　　从根节点出发

　　　　　　　　依次遍历各节点的左右子树，

　　　　　　　　直到当前节点左右子树遍历完成后，才访问该节点元素。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　后序遍历具体过程：

1. 1. 1. 从根节点 1 开始，遍历该节点的左子树（以节点 2 为根节点）；
      2. 遍历节点 2 的左子树（以节点 4 为根节点）；
      3. 由于节点 4 既没有左子树，也没有右子树，此时访问该节点中的元素 4，并回退到节点 2 ，遍历节点 2 的右子树（以 5 为根节点）；
      4. 由于节点 5 无左右子树，因此可以访问节点 5 ，并且此时节点 2 的左右子树也遍历完成，因此也可以访问节点 2；
      5. 此时回退到节点 1 ，开始遍历节点 1 的右子树（以节点 3 为根节点）；
      6. 遍历节点 3 的左子树（以节点 6 为根节点）；
      7. 由于节点 6 无左右子树，因此访问节点 6，并回退到节点 3，开始遍历节点 3 的右子树（以节点 7 为根节点）；
      8. 由于节点 7 无左右子树，因此访问节点 7，并且节点 3 的左右子树也遍历完成，可以访问节点 3；节点 1 的左右子树也遍历完成，可以访问节点 1；
      9. 到此，整棵树的遍历结束。

　　　　　　　　后序遍历最终结果：4,5,2,6,7,3,1

　　　　　　层次遍历：

　　　　　　　　通过使用队列的数据结构，从树的根结点开始，依次将其左孩子和右孩子入队。而后每次队列中一个结点出队，都将其左孩子和右孩子入队，直到树中所有结点都出队，出队结点的先后顺序就是层次遍历的最终结果。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　层次遍历具体过程：

1. 1. 1. 首先，根结点 1 入队；
      2. 根结点 1 出队，出队的同时，将左孩子 2 和右孩子 3 分别入队；
      3. 队头结点 2 出队，出队的同时，将结点 2 的左孩子 4 和右孩子 5 依次入队；
      4. 队头结点 3 出队，出队的同时，将结点 3 的左孩子 6 和右孩子 7 依次入队；
      5. 不断地循环，直至队列内为空。

　　　　　　　　层次遍历最终结果：1,2,3,4,5,6,7