1、平衡二叉树定义：
平衡二叉树（Balanced Binary Tree或Height-Balanced Tree）又称AVL树。它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。若将二叉树上结点的平衡因子bf(balance factor)定义为该结点的左子树的深度减去右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能为-1、0和1这三个值。
2、失去平衡情况分析：
假设结点A是一颗子平衡二叉树，当在以A为根结点的AVL树上插入一个新结点时，会出现以下三种情况：
1）如果插入前A—>bf=1（A的左子树深度比右子树深度多1），如果插入在A的左子树上且A的左子树深度增加了1，则此时A—>bf=2需要对树进行调整，如图2.1结点C为新插入的结点，C可以插入到B的左子树上（如图2.1（b））或者右子树上（如图2.1（c））。
2）如果插入前A—>bf=0（A的左子树和右子树深度相等），如果插入在A的左子树上且A的左子树深度增加了1，则此时只需要改变A的平衡因子为1即可不需要对树进行调整。如果插入在A的右子树上且A的右子树深度增加了1，则此时只需要改变A的平衡因子为-1即可不需要进行调整。
3）如果插入前A—>bf=-1（A的左子树深度比右子树深度少1），如果插入在A的右子树上且A的右子树深度增加了1，则此时A—>bf=-2需要对树进行调整，如图2.2结点C为新插入的结点，C可以插入在B的左子树上（如图2.2（b））或者右子树上（如图2.2（c））。
图2.1 图2.2
注意：上图中为了清楚的看到添加结点后失去平衡时的情况，省去了一些子结点，这些结点在下面的分析中会完整画出来
当出现图2.1（b）中的情况时只需要进行一次右旋转操作，旋转后得到如图2.1（d）所示的平衡二叉树。
当出现图2.1（c）中的情况时需要先对A的左子树B进行左旋操作，然后再进行右旋操作，旋转后得到如图2.1（e）所示的平衡二叉树。
当出现图2.2（b）中的情况时只需要进行一次右旋转操作，旋转后得到如图2.1（d）所示的平衡二叉树。
当出现图2.2（c）中的情况时需要先对A的右子树B进行右旋，然后再进行左旋操作，旋转后得到如图2.2（e）所示的平衡二叉树。
3.求旋转后各结点的平衡因子：
旋转后怎么确定各结点的新的平衡因子是平衡二叉树算法的关键点，我们需要按情况来一一推理。
一、当出现图2.1（b）（c）这两种情况时，需进行左平衡处理：
1）当新结点插入到B的左子树上时B—>bf=1，由此可知：deep(C)=deep(E)+1，deep(B)=deep(C)+1；由于插入新结点前A—>bf=1，deep(B)=deep(D)+1则插入新节点后deep(B)=deep(D)+2；图3.1.1为调整前的二叉树，图3.1.2为对A树进行右旋转后的AVL树：
图3.1.1 图3.1.2
对比图3.1.1和3.1.2可知旋转后的新树中A的左子树发生了变化，B的右子树发生了变化，其他结点都没变；因此只需要重新算出A的平衡因子和B的平衡因子即可证明调整后的树是否为AVL树。
由上面的等式deep(B)=deep(D)+2，deep(B)=deep(C)+1，deep(C)=deep(E)+1
可以推出deep(E)=deep(C)-1=deep(B)-1-1=deep(D)+2-1-1=deep(D)可得出A—>bf=0
由调整后deep(E)=deep(D)可推出调整后deep(A)=deep(E)+1=deep(C)-1+1=deep(C)可得出B—>bf=0；
2）当新结点插入到B的右子树上时B—>bf=-1，由此可知：deep(C)=deep(E)-1，deep(B)=deep(E)+1；由于插入新结点前A—>bf=1，deep(B)=deep(D)+1则插入新节点后deep(B)=deep(D)+2；图3.2.1为调整前的二叉树，图3.2.2为先对B树进行左旋然后对A树进行右旋后的AVL树：
图3.2.1 图3.2.2
对比图3.2.1和3.2.2可知调整后的新树中A的左子树发生了变化，B的右子树发生了变化，E的左右子树都发生了变化，其他结点都没变，因此只需要重新算出A的平衡因子、B的平衡因子以及E的平衡因子即可证明调整后的树是否为AVL树。
此时由于调整后的B和A结点的平衡因子与E的左右子树EL和ER有关，因此需要根据E的平衡因子的不同来进行分析：
由上面的分析可得到deep(B)=deep(D)+2，deep(B)=deep(E)+1，deep(C)=deep(E)-1
1、当E—>bf=1时：deep(E)=deep(EL)+1，deep(ER)=deep(EL)-1
deep(C)=deep(E)-1=deep(EL)+1-1=deep(EL)可得B—>bf=0
deep(D)=deep(B)-2=deep(E)+1-2=deep(ER)+1+1+1-2=deep(ER)+1可得A—>bf=-1
由于deep(EL)=deep(ER)+1所以E—>bf=0
2、当E—>bf=0时：deep(E)=deep(EL)+1，deep(ER)=deep(EL)
deep(C)=deep(E)-1=deep(EL)+1-1=deep(EL)可得B—>bf=0
deep(D)=deep(B)-2=deep(E)+1-2=deep(ER)+1+1-2=deep(ER)可得A—>bf=0
由于B—>bf=0，A—>bf=0所以E—>bf=0
3、当E—>bf=-1时：deep(E)=deep(ER)+1，deep(ER)=deep(EL)+1
deep(C)=deep(E)-1=deep(EL)+1+1-1=deep(EL)+1可得B—>bf=1
deep(D)=deep(B)-2=deep(E)+1-2=deep(ER)+1+1-2=deep(ER)可得A—>bf=0
由于deep(EL)=deep(ER)-1所以E—>bf=0
二、当出现图2.2（b）（c）这两种情况时，需进行右平衡处理：
1）当新结点插入到C的左子树上时C—>bf=1,由此可知：deep(C)=deep(E)+1，deep(D)=deep(E)-1；由于插入新结点前A—>bf=-1，deep(B)=deep(C)-1则插入新节点后deep(B)=deep(C)-2；图3.3.1为调整前的二叉树，图3.3.2为先对C树进行右旋然后对A树进行左旋后的AVL树：
图3.3.1 图3.3.2
对比图3.3.1和3.3.2可知调整后的新树中A的右子树发生了变化，C的左子树发生了变化，E的左右子树都发生了变化，其他结点都没变，因此只需要重新算出A的平衡因子、B的平衡因子以及E的平衡因子即可证明调整后的树是否为AVL树。
此时由于调整后的A和C结点的平衡因子与E的左右子树EL和ER有关，因此需要根据E的平衡因子的不同来进行分析：
由上面的分析可得到deep(B)=deep(C)-2，deep(C)=deep(E)+1，deep(D)=deep(E)-1
1、当E—>bf=1时：deep(E)=deep(EL)+1，deep(ER)=deep(EL)-1
deep(B)=deep(C)-2=deep(EL)+1+1-2=deep(EL)可得A—>bf=0
deep(D)=deep(E)-1=deep(ER)+1+1-1=deep(ER)+1可得C—>bf=-1
由于deep(EL)=deep(ER)+1所以E—>bf=0
2、当E—>bf=0时：deep(E)=deep(EL)+1，deep(ER)=deep(EL)
deep(B)=deep(E)+1-2=deep(EL)+1+1-2=deep(EL)可得A—>bf=0
deep(D)=deep(E)-1=deep(ER)+1-1=deep(ER)可得C—>bf=0
由于A—>bf=0,C—>bf=0所以E—>bf=0
3、当E—>bf=-1时：deep(E)=deep(ER)+1，deep(ER)=deep(EL)+1
deep(B)=deep(C)-2=deep(E)+1-2=deep(EL)+1+1+1-2=deep(EL)+1可得A—>bf=1
deep(D)=deep(E)-1=deep(ER)+1-1=deep(ER)可得C—>bf=0
由于deep(EL)=deep(ER)-1所以E—>bf=0
2）当新结点插入到C的右子树上时C—>bf=-1，由此可知：deep(C)=deep(D)+1，deep(D)=deep(E)+1；由于插入新结点前A—>bf=-1，deep(B)=deep(C)-1则插入新节点后deep(B)=deep(C)-2；图3.4.1为调整前的二叉树，图3.4.2为进行左旋后的AVL树：
图3.4.1 图3.4.2
对比图3.4.1和3.4.2可知调整后的新树中A的右子树发生了变化，C的左子树发生了变化，其他结点都没变，因此只需要重新算出A的平衡因子和C的平衡因子即可证明调整后的树是否为AVL树。
由上面的等式deep(B)=deep(C)-2，deep(C)=deep(D)+1，deep(D)=deep(E)+1
可以推出deep(B)=deep(C)-2=deep(D)+1-2=deep(E)+1+1-2=deep(E)可得出A—>bf=0
由A—>bf=0调整后deep(A)=deep(E)+1=deep(D)-1+1=deep(D)可得出C—>bf=0；
4.Java实现代码：
1 package org.algorithms.tree;
2
3 import java.util.concurrent.ConcurrentLinkedQueue;
4
5
6 public class BalanceBiTree<T> {
7
8 private Node root;
9
10 private int size;
11
12 public void insert(T t){
13 if(root==null){
14 root = new Node();
15 root.bf = 0;
16 root.data = t;
17 size++;
18 return;
19 }
20 addNode(root,t);
21 }
22
23 private boolean addNode(Node nd,T t){
24 boolean taller = false;
25 Comparable<T> cp = (Comparable<T>)nd.data;
26 int i = cp.compareTo(t);
27 if(i==0){
28 return false;
29 }else if(i>0){
30 if(nd.lChild==null){
31 Node child = new Node();
32 child.bf = 0;
33 child.data = t;
34 child.parent = nd;
35 nd.lChild = child;
36 size++;
37 if(nd.bf==0){
38 nd.bf = 1;
39 return true;
40 }
41 nd.bf = 0;
42 }else{
43 taller = addNode(nd.lChild, t);
44 if(taller){
45 if(nd.bf==1){
46 leftBalance(nd);
47 taller = false;
48 }else if(nd.bf==0){
49 nd.bf = 1;
50 taller = true;
51 }else{
52 nd.bf = 0;
53 taller = false;
54 }
55 }
56 }
57 }else{
58 if(nd.rChild==null){
59 Node child = new Node();
60 child.bf = 0;
61 child.data = t;
62 child.parent = nd;
63 nd.rChild = child;
64 size++;
65 if(nd.bf==0){
66 nd.bf = -1;
67 return true;
68 }
69 nd.bf = 0;
70 }else{
71 taller = addNode(nd.rChild, t);
72 if(taller){
73 if(nd.bf==1){
74 nd.bf = 0;
75 taller = false;
76 }else if(nd.bf==0){
77 nd.bf = -1;
78 taller = true;
79 }else{
80 rightBalance(nd);
81 taller = false;
82 }
83 }
84 }
85 }
86 return taller;
87 }
88
89 public int getSize(){
90 return size;
91 }
92
93 private void leftBalance(Node nd){
94 Node leftChild = nd.lChild;
95 if(leftChild.bf==1){
96 nd.bf = 0;
97 leftChild.bf = 0;
98 rightRotate(nd);
99 }else if(leftChild.bf==-1){
100 Node rd = leftChild.rChild;
101 switch (rd.bf) {
102 case 1:
103 leftChild.bf=0;nd.bf = -1;
104 break;
105 case 0:
106 leftChild.bf=0;nd.bf = 0;
107 break;
108 case -1:
109 leftChild.bf = 1;nd.bf = 0;
110 break;
111 }
112 rd.bf = 0 ;
113 leftRotate(leftChild);
114 rightRotate(nd);
115 }
116 }
117
118 private void rightBalance(Node nd){
119 Node rightChild = nd.rChild;
120 if(rightChild.bf==1){
121 Node ld = rightChild.lChild;
122 switch (ld.bf) {
123 case 1:
124 rightChild.bf= -1; nd.bf = 0;
125 break;
126 case 0:
127 rightChild.bf=0;nd.bf = 0;
128 break;
129 case -1:
130 rightChild.bf = 0;nd.bf = 1;
131 break;
132 }
133 ld.bf = 0 ;
134 rightRotate(rightChild);
135 leftRotate(nd);
136 }else if(rightChild.bf==-1){
137 nd.bf = 0;
138 rightChild.bf = 0;
139 leftRotate(nd);
140 }
141
142 }
143
144 private void leftRotate(Node nd){
145 Node top = nd.rChild;
146 nd.rChild = top.lChild;
147 if(top.lChild!=null)
148 top.lChild.parent = nd;
149 top.lChild = nd;
150 top.parent = nd.parent;
151 if(nd.parent!=null){
152 if(nd.parent.lChild == nd)
153 nd.parent.lChild = top;
154 else
155 nd.parent.rChild = top;
156 }else{
157 root = top;
158 }
159 nd.parent = top;
160 }
161
162 private void rightRotate(Node nd){
163 Node top = nd.lChild;
164 nd.lChild = top.rChild;
165 if(top.rChild!=null)
166 top.rChild.parent = nd;
167 top.rChild = nd;
168 top.parent = nd.parent;
169 if(nd.parent!=null){
170 if(nd.parent.lChild == nd)
171 nd.parent.lChild = top;
172 else
173 nd.parent.rChild = top;
174 }else{
175 root = top;
176 }
177 nd.parent = top;
178 }
179
180 public void printTree(){
181 ConcurrentLinkedQueue<Node> queue = new ConcurrentLinkedQueue<Node>();
182 ConcurrentLinkedQueue<Node> tempQueue = new ConcurrentLinkedQueue<Node>();
183 queue.add(root);
184 int offset= 0;
185 int counter=2;
186 for(int i=0;i<50;i++)
187 System.out.print(" ");
188 while(queue.peek()!=null){
189 Node node = queue.poll();
190 String side = "L";
191 if(node.parent!=null&&node.parent.rChild==node)
192 side = "R";
193 System.out.print(node.data+"("+(node.parent==null?"":node.parent.data)+" "+side+")");
194 if(node.parent!=null&&node.parent.rChild!=node)
195 for(int i=0;i<counter;i++)
196 System.out.print(" ");
197 if(node.lChild!=null)
198 tempQueue.add(node.lChild);
199 if(node.rChild!=null)
200 tempQueue.add(node.rChild);
201 if(queue.isEmpty()){
202 offset += 3;
203 //counter--;
204 copyQueue(tempQueue,queue);
205 System.out.println();
206 for(int i=0;i<50-offset;i++)
207 System.out.print(" ");
208 }
209 }
210
211 }
212
213 private void copyQueue(ConcurrentLinkedQueue<Node> source,
214 ConcurrentLinkedQueue<Node> target){
215 while(source.peek()!=null){
216 target.add(source.poll());
217 }
218 }
219
220 private class Node{
221
222 public T data;
223
224 public Node lChild;
225
226 public Node rChild;
227
228 public Node parent;
229
230 public int bf;
231 }
232 }